Analysis Beispiele

$\frac{4}{x^{2} + 1}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4}{x^{2} + 1}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 1}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 1}]$

Schritt 1.1.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2} + 1}$ als ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ um.

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{- 1}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$4 (- {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 ({(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 4 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 4 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 1.3.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 4 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

Schritt 1.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.3.5.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$- 4 {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

Schritt 1.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$- 8 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Schritt 1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.4.2.1

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Schritt 1.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Schritt 1.4.2.3

Kombiniere $x$ und $\frac{8}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 8}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 1.4.2.4

Bringe $8$ auf die linke Seite von $x$ .

$f' (x) = - \frac{8 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{8 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$- 8 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 8 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- 8 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 8 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere ${(x^{2} + 1)}^{2}$ mit $1$ .

$- 8 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{2}]}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Schritt 2.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$- 8 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 8 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$- 8 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - x (2 (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 8 \frac{{(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.2

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus ${(x^{2} + 1)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ heraus.

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Schritt 2.5.2.1

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus ${(x^{2} + 1)}^{2}$ heraus.

$- 8 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) - 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.2.2

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus $- 2 x ((x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$ heraus.

$- 8 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.5.2.3

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))$ heraus.

$- 8 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{{(x^{2} + 1)}^{4}}$

Schritt 2.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.6.1

Faktorisiere $x^{2} + 1$ aus ${(x^{2} + 1)}^{4}$ heraus.

$- 8 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 8 \frac{(x^{2} + 1) (x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]))}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.9

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.10

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.10.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.11

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.12

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - 4 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.13

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.14

Addiere $1$ und $1$ .

$- 8 \frac{x^{2} + 1 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.15

Subtrahiere $4 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$- 8 \frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.16

Kombiniere $- 8$ und $\frac{- 3 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ .

$\frac{- 8 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.17

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{8 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18

Vereinfache.

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Schritt 2.18.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{8 (- 3 x^{2}) + 8 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.18.2.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $8$ .

$- \frac{- 24 x^{2} + 8 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.2.2

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$- \frac{- 24 x^{2} + 8}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.3

Faktorisiere $8$ aus $- 24 x^{2} + 8$ heraus.

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Schritt 2.18.3.1

Faktorisiere $8$ aus $- 24 x^{2}$ heraus.

$- \frac{8 (- 3 x^{2}) + 8}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.3.2

Faktorisiere $8$ aus $8$ heraus.

$- \frac{8 (- 3 x^{2}) + 8 (1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.3.3

Faktorisiere $8$ aus $8 (- 3 x^{2}) + 8 (1)$ heraus.

$- \frac{8 (- 3 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$- \frac{8 (- (3 x^{2}) + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.5

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$- \frac{8 (- (3 x^{2}) - 1 (- 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{2}) - 1 (- 1)$ heraus.

$- \frac{8 (- (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.7

Schreibe $- (3 x^{2} - 1)$ als $- 1 (3 x^{2} - 1)$ um.

$- \frac{8 (- 1 (3 x^{2} - 1))}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- - \frac{8 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{8 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$

Schritt 2.18.10

Mutltipliziere $\frac{8 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 (3 x^{2} - 1)}{{(x^{2} + 1)}^{3}}$