Analysis Beispiele

$\frac{4}{x^{2}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Schritt 1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Schritt 1.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$4 (- 2 x^{- 3})$

Schritt 1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$- 8 x^{- 3}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 1.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.5.2.1

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 8}{x^{3}}$

Schritt 1.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{8}{x^{3}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{8}{x^{3}}$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$- 8 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Schritt 2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 3$ .

$- 8 (- 3 x^{- 4})$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 8$ .

$24 x^{- 4}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$24 \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 2.5.2

Kombiniere $24$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{24}{x^{4}}$