Analysis Beispiele

$4 {(x + 2)}^{\frac{5}{3}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 {(x + 2)}^{\frac{5}{3}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{5}{3}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{5}{3}}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{5}{3}}$ und $g (x) = x + 2$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 2$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{5}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 2])$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{5}{3}$ .

$4 (\frac{5}{3} u^{\frac{5}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 2$ .

$4 (\frac{5}{3} {(x + 2)}^{\frac{5}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Schritt 1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{5}{3} {(x + 2)}^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Schritt 1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{5}{3} {(x + 2)}^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Schritt 1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 (\frac{5}{3} {(x + 2)}^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Schritt 1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$4 (\frac{5}{3} {(x + 2)}^{\frac{5 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Schritt 1.6.2

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$4 (\frac{5}{3} {(x + 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Schritt 1.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.7.1

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und ${(x + 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$4 (\frac{5 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Schritt 1.7.2

Kombiniere $\frac{5 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ und $4$ .

$\frac{5 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot 4}{3} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Schritt 1.7.3

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$\frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Schritt 1.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 1.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 1.10

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} (1 + 0)$

Schritt 1.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3} \cdot 1$

Schritt 1.11.2

Mutltipliziere $\frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $\frac{20}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{20 {(x + 2)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ nach $x$ gleich $\frac{20}{3} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{20}{3} \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ und $g (x) = x + 2$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + 2$ .

$\frac{20}{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 2])$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + 2$ .

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} {(x + 2)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Schritt 2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} {(x + 2)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} {(x + 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} {(x + 2)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Schritt 2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} {(x + 2)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} {(x + 2)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Schritt 2.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3} {(x + 2)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Schritt 2.7.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${(x + 2)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{20}{3} (\frac{2 {(x + 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Schritt 2.7.3

Bringe ${(x + 2)}^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{20}{3} (\frac{2}{3 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

Schritt 2.7.4

Mutltipliziere $\frac{2}{3 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}}$ mit $\frac{20}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 20}{3 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Schritt 2.7.5

Multipliziere.

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Schritt 2.7.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $20$ .

$\frac{40}{3 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Schritt 2.7.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{40}{9 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

Schritt 2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{40}{9 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{40}{9 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

Schritt 2.10

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{40}{9 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}} (1 + 0)$

Schritt 2.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.11.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{40}{9 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1$

Schritt 2.11.2

Mutltipliziere $\frac{40}{9 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{40}{9 {(x + 2)}^{\frac{1}{3}}}$