Analysis Beispiele

$3 x^{- 3}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{- 3}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 3$ .

$3 (- 3 x^{- 4})$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$- 9 x^{- 4}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 9 \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 1.4.2

Kombiniere $- 9$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 9}{x^{4}}$

Schritt 1.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{9}{x^{4}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{9}{x^{4}}$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Schritt 2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{4}}$ als ${(x^{4})}^{- 1}$ um.

$- 9 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Schritt 2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{4})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [x^{4 \cdot - 1}]$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 4$ .

$- 9 (- 4 x^{- 5})$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 9$ .

$36 x^{- 5}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$36 \frac{1}{x^{5}}$

Schritt 2.5.2

Kombiniere $36$ und $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{36}{x^{5}}$