Analysis Beispiele

$6 y^{\frac{5}{2}} - 5 x y - 7 x$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 y^{\frac{5}{2}} - 5 x y - 7 x$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [6 y^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$ .

$\frac{d}{d y} [6 y^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d y} [6 y^{\frac{5}{2}}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $6 y^{\frac{5}{2}}$ nach $y$ gleich $6 \frac{d}{d y} [y^{\frac{5}{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d y} [y^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{5}{2}$ .

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Schritt 1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Schritt 1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Schritt 1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Schritt 1.2.6.2

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$6 (\frac{5}{2} y^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Schritt 1.2.7

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $y^{\frac{3}{2}}$ .

$6 \frac{5 y^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Schritt 1.2.8

Kombiniere $6$ und $\frac{5 y^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{6 (5 y^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Schritt 1.2.9

Mutltipliziere $5$ mit $6$ .

$\frac{30 y^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Schritt 1.2.10

Faktorisiere $2$ aus $30 y^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (15 y^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Schritt 1.2.11

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.11.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (15 y^{\frac{3}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Schritt 1.2.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (15 y^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Schritt 1.2.11.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{15 y^{\frac{3}{2}}}{1} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Schritt 1.2.11.4

Dividiere $15 y^{\frac{3}{2}}$ durch $1$ .

$15 y^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d y} [- 5 x y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- 5 x y]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- 5 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x y$ nach $y$ gleich $- 5 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x + \frac{d}{d y} [- 7 x]$

Schritt 1.4

Da $- 7 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 7 x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x + 0$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Addiere $15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x$ und $0$ .

$15 y^{\frac{3}{2}} - 5 x$

Schritt 1.5.2

Stelle die Terme um.

$f' (y) = - 5 x + 15 y^{\frac{3}{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 5 x + 15 y^{\frac{3}{2}}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [- 5 x] + \frac{d}{d y} [15 y^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{d}{d y} [- 5 x] + \frac{d}{d y} [15 y^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.1.2

Da $- 5 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [15 y^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d y} [15 y^{\frac{3}{2}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $15$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $15 y^{\frac{3}{2}}$ nach $y$ gleich $15 \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$ .

$0 + 15 \frac{d}{d y} [y^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1})$

Schritt 2.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 2.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 2.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 2.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{3 - 2}{2}})$

Schritt 2.2.6.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$0 + 15 (\frac{3}{2} y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2.2.7

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $y^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + 15 \frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 2.2.8

Kombiniere $15$ und $\frac{3 y^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$0 + \frac{15 (3 y^{\frac{1}{2}})}{2}$

Schritt 2.2.9

Mutltipliziere $3$ mit $15$ .

$0 + \frac{45 y^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{45 y^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (y) = \frac{45 y^{\frac{1}{2}}}{2}$