Analysis Beispiele

$12 - \frac{192}{x^{2}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 - \frac{192}{x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- \frac{192}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- \frac{192}{x^{2}}]$

Schritt 1.1.2

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{192}{x^{2}}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{192}{x^{2}}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 192$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{192}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $- 192 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$0 - 192 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 1.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$0 - 192 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$0 - 192 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$0 - 192 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$0 - 192 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 - 192 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Schritt 1.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 1.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 192 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Schritt 1.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$0 - 192 (- x^{- 4} (2 x))$

Schritt 1.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 - 192 (- 2 x^{- 4} x)$

Schritt 1.2.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$0 - 192 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Schritt 1.2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$0 - 192 (- 2 x^{1 - 4})$

Schritt 1.2.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$0 - 192 (- 2 x^{- 3})$

Schritt 1.2.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 192$ .

$0 + 384 x^{- 3}$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 384 \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 1.3.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.2.1

Kombiniere $384$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$0 + \frac{384}{x^{3}}$

Schritt 1.3.2.2

Addiere $0$ und $\frac{384}{x^{3}}$ .

$f' (x) = \frac{384}{x^{3}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Da $384$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{384}{x^{3}}$ nach $x$ gleich $384 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$384 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$384 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}]$

Schritt 2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$384 \frac{d}{d x} [x^{3 \cdot - 1}]$

Schritt 2.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$384 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 3$ .

$384 (- 3 x^{- 4})$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $384$ .

$- 1152 x^{- 4}$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 1152 \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 2.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.5.2.1

Kombiniere $- 1152$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 1152}{x^{4}}$

Schritt 2.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = - \frac{1152}{x^{4}}$