Analysis Beispiele

$8 z^{2} e^{z}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Da $8$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $8 z^{2} e^{z}$ nach $z$ gleich $8 \frac{d}{d z} [z^{2} e^{z}]$ .

$8 \frac{d}{d z} [z^{2} e^{z}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ gleich $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ ist mit $f (z) = z^{2}$ und $g (z) = e^{z}$ .

$8 (z^{2} \frac{d}{d z} [e^{z}] + e^{z} \frac{d}{d z} [z^{2}])$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [a^{z}]$ gleich $a^{z} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$8 (z^{2} e^{z} + e^{z} \frac{d}{d z} [z^{2}])$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$8 (z^{2} e^{z} + e^{z} (2 z))$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 (z^{2} e^{z}) + 8 (e^{z} (2 z))$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$8 z^{2} e^{z} + 16 e^{z} z$

Schritt 1.5.3

Stelle die Terme um.

$8 e^{z} z^{2} + 16 e^{z} z$

Schritt 1.5.4

Stelle die Faktoren in $8 e^{z} z^{2} + 16 e^{z} z$ um.

$f' (z) = 8 z^{2} e^{z} + 16 z e^{z}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 z^{2} e^{z} + 16 z e^{z}$ nach $z$ $\frac{d}{d z} [8 z^{2} e^{z}] + \frac{d}{d z} [16 z e^{z}]$ .

$\frac{d}{d z} [8 z^{2} e^{z}] + \frac{d}{d z} [16 z e^{z}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d z} [8 z^{2} e^{z}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $8$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $8 z^{2} e^{z}$ nach $z$ gleich $8 \frac{d}{d z} [z^{2} e^{z}]$ .

$8 \frac{d}{d z} [z^{2} e^{z}] + \frac{d}{d z} [16 z e^{z}]$

Schritt 2.2.2

$8 (z^{2} \frac{d}{d z} [e^{z}] + e^{z} \frac{d}{d z} [z^{2}]) + \frac{d}{d z} [16 z e^{z}]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [a^{z}]$ gleich $a^{z} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$8 (z^{2} e^{z} + e^{z} \frac{d}{d z} [z^{2}]) + \frac{d}{d z} [16 z e^{z}]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$8 (z^{2} e^{z} + e^{z} (2 z)) + \frac{d}{d z} [16 z e^{z}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d z} [16 z e^{z}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $16$ konstant bezüglich $z$ ist, ist die Ableitung von $16 z e^{z}$ nach $z$ gleich $16 \frac{d}{d z} [z e^{z}]$ .

$8 (z^{2} e^{z} + e^{z} (2 z)) + 16 \frac{d}{d z} [z e^{z}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [f (z) g (z)]$ gleich $f (z) \frac{d}{d z} [g (z)] + g (z) \frac{d}{d z} [f (z)]$ ist mit $f (z) = z$ und $g (z) = e^{z}$ .

$8 (z^{2} e^{z} + e^{z} (2 z)) + 16 (z \frac{d}{d z} [e^{z}] + e^{z} \frac{d}{d z} [z])$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [a^{z}]$ gleich $a^{z} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$8 (z^{2} e^{z} + e^{z} (2 z)) + 16 (z e^{z} + e^{z} \frac{d}{d z} [z])$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ gleich $n z^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 (z^{2} e^{z} + e^{z} (2 z)) + 16 (z e^{z} + e^{z} \cdot 1)$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $e^{z}$ mit $1$ .

$8 (z^{2} e^{z} + e^{z} (2 z)) + 16 (z e^{z} + e^{z})$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$8 (z^{2} e^{z}) + 8 (e^{z} (2 z)) + 16 (z e^{z} + e^{z})$

Schritt 2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$8 (z^{2} e^{z}) + 8 (e^{z} (2 z)) + 16 (z e^{z}) + 16 e^{z}$

Schritt 2.4.3

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$8 z^{2} e^{z} + 16 (e^{z} (z)) + 16 (z e^{z}) + 16 e^{z}$

Schritt 2.4.3.2

Addiere $16 e^{z} z$ und $16 z e^{z}$ .

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Schritt 2.4.3.2.1

Bewege $e^{z}$ .

$8 z^{2} e^{z} + 16 z e^{z} + 16 z e^{z} + 16 e^{z}$

Schritt 2.4.3.2.2

Addiere $16 z e^{z}$ und $16 z e^{z}$ .

$8 z^{2} e^{z} + 32 z e^{z} + 16 e^{z}$

Schritt 2.4.4

Stelle die Terme um.

$8 e^{z} z^{2} + 32 e^{z} z + 16 e^{z}$

Schritt 2.4.5

Stelle die Faktoren in $8 e^{z} z^{2} + 32 e^{z} z + 16 e^{z}$ um.

$f'' (z) = 8 z^{2} e^{z} + 32 z e^{z} + 16 e^{z}$