Analysis Beispiele

$x^{x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Wende die Logarithmengesetze an, um die Ableitung zu vereinfachen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Schreibe $x^{x}$ als $e^{\ln (x^{x})}$ um.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}]$

Schritt 1.1.2

Zerlege $\ln (x^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x \ln (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x \ln (x)$ .

$e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.4

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 1.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Schritt 1.5.4

Mutltipliziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))$

Schritt 1.6

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Schritt 1.6.2

Mutltipliziere $e^{x \ln (x)}$ mit $1$ .

$e^{x \ln (x)} + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Schritt 1.6.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = e^{x \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x)}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x \ln (x)} \ln (x) + e^{x \ln (x)}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)} \ln (x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{x \ln (x)}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}] + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Schritt 2.2.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$e^{x \ln (x)} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}] + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x \ln (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $x \ln (x)$ .

$e^{x \ln (x)} \frac{1}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{x \ln (x)} \frac{1}{x} + \ln (x) (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $x \ln (x)$ .

$e^{x \ln (x)} \frac{1}{x} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Schritt 2.2.4

$e^{x \ln (x)} \frac{1}{x} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Schritt 2.2.5

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$e^{x \ln (x)} \frac{1}{x} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Schritt 2.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{x \ln (x)} \frac{1}{x} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Schritt 2.2.7

Kombiniere $e^{x \ln (x)}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Schritt 2.2.8

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Schritt 2.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Schritt 2.2.9.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Schritt 2.2.10

Mutltipliziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Schritt 2.2.11

Um $\ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x)))$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{x \ln (x)}}{x} + \frac{\ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Schritt 2.2.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x \ln (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x \ln (x)$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Schritt 2.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x \ln (x)$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Schritt 2.3.2

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Schritt 2.3.5

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Schritt 2.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Schritt 2.3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Schritt 2.3.7

Mutltipliziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))) x}{x} + e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))$

Schritt 2.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)) x}{x} + e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))$

Schritt 2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{x \ln (x)} + (\ln (x) (e^{x \ln (x)} \cdot 1) + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \ln (x))) x}{x} + e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))$

Schritt 2.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \cdot 1) x + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \ln (x)) x}{x} + e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))$

Schritt 2.4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \cdot 1) x + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \ln (x)) x}{x} + e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Schritt 2.4.5

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.5.1

Mutltipliziere $e^{x \ln (x)}$ mit $1$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + \ln (x) (e^{x \ln (x)} \ln (x)) x}{x} + e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Schritt 2.4.5.2

Potenziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + \ln^{1} (x) \ln (x) e^{x \ln (x)} x}{x} + e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Schritt 2.4.5.3

Potenziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + \ln^{1} (x) \ln^{1} (x) e^{x \ln (x)} x}{x} + e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Schritt 2.4.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + {\ln (x)}^{1 + 1} e^{x \ln (x)} x}{x} + e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Schritt 2.4.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + \ln^{2} (x) e^{x \ln (x)} x}{x} + e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Schritt 2.4.5.6

Mutltipliziere $e^{x \ln (x)}$ mit $1$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + \ln^{2} (x) e^{x \ln (x)} x}{x} + e^{x \ln (x)} + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Schritt 2.4.5.7

Um $e^{x \ln (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + \ln^{2} (x) e^{x \ln (x)} x}{x} + \frac{e^{x \ln (x)} x}{x} + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Schritt 2.4.5.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + \ln^{2} (x) e^{x \ln (x)} x + e^{x \ln (x)} x}{x} + e^{x \ln (x)} \ln (x)$

Schritt 2.4.5.9

Um $e^{x \ln (x)} \ln (x)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + \ln^{2} (x) e^{x \ln (x)} x + e^{x \ln (x)} x}{x} + \frac{e^{x \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

Schritt 2.4.5.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{e^{x \ln (x)} + \ln (x) e^{x \ln (x)} x + \ln^{2} (x) e^{x \ln (x)} x + e^{x \ln (x)} x + e^{x \ln (x)} \ln (x) x}{x}$

Schritt 2.4.5.11

Stelle $e^{x \ln (x)}$ und $x$ um.

$\frac{e^{x \ln (x)} + x e^{x \ln (x)} \ln (x) + x e^{x \ln (x)} \ln (x) + \ln^{2} (x) e^{x \ln (x)} x + e^{x \ln (x)} x}{x}$

Schritt 2.4.5.12

Addiere $x e^{x \ln (x)} \ln (x)$ und $x e^{x \ln (x)} \ln (x)$ .

$\frac{e^{x \ln (x)} + 2 x e^{x \ln (x)} \ln (x) + \ln^{2} (x) e^{x \ln (x)} x + e^{x \ln (x)} x}{x}$

Schritt 2.4.6

Stelle die Terme um.

$\frac{2 e^{x \ln (x)} x \ln (x) + e^{x \ln (x)} x \ln^{2} (x) + e^{x \ln (x)} x + e^{x \ln (x)}}{x}$

Schritt 2.4.7

Stelle die Faktoren in $\frac{2 e^{x \ln (x)} x \ln (x) + e^{x \ln (x)} x \ln^{2} (x) + e^{x \ln (x)} x + e^{x \ln (x)}}{x}$ um.

$f'' (x) = \frac{2 x e^{x \ln (x)} \ln (x) + x e^{x \ln (x)} \ln^{2} (x) + x e^{x \ln (x)} + e^{x \ln (x)}}{x}$