Analysis Beispiele

$x^{2} \ln (3 x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \ln (3 x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Kombiniere $\frac{1}{3 x}$ und $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x \cdot x}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 3} \frac{d}{d x} [3 x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 3} \frac{d}{d x} [3 x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{3} \frac{d}{d x} [3 x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{3} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.3.4.1

Kombiniere $3$ und $\frac{x}{3}$ .

$\frac{3 x}{3} \frac{d}{d x} [x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} \frac{d}{d x} [x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3.4.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \frac{d}{d x} [x] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x \cdot 1 + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3.6

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x + \ln (3 x) (2 x)$

Schritt 1.3.8

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 2 x \ln (3 x) + x$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x \ln (3 x) + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x \ln (3 x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x \ln (3 x)] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x \ln (3 x)]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x \ln (3 x)$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x \ln (3 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \ln (3 x)] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (3 x)$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\ln (3 x)] + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 2.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.3.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$2 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$2 (x (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x (\frac{1}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (x (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (x (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1)) + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$2 (x (\frac{1}{3 x} \cdot 3) + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.8

Kombiniere $\frac{1}{3 x}$ und $3$ .

$2 (x \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (x \frac{3}{3 x} + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.9.2

Forme den Ausdruck um.

$2 (x \frac{1}{x} + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.10

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$2 (\frac{x}{x} + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.2.11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{x}{x} + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.11.2

Forme den Ausdruck um.

$2 (1 + \ln (3 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.12

Mutltipliziere $\ln (3 x)$ mit $1$ .

$2 (1 + \ln (3 x)) + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 (1 + \ln (3 x)) + 1$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 1 + 2 \ln (3 x) + 1$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + 2 \ln (3 x) + 1$

Schritt 2.4.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$f'' (x) = 2 \ln (3 x) + 3$