Analysis Beispiele

$y = x$ , $y = x^{2}$

Schritt 1

Um das Volumen des Körpers zu bestimmen, definiere zuerst die Fläche jeder Scheibe und integriere anschließend über den Wertebereich. Die Fläche jeder Scheibe ist die Fläche eines Kreises mit Radius $f (x)$ und $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ , wobei $f (x) = x$ und $g (x) = x^{2}$

Schritt 2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = x^{2} - x^{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$V = x^{2} - x^{4}$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$V = π (\int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{4} d x)$

Schritt 6

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{4} d x)$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{1}))$

Schritt 8

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{5}$ .

$V = π (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1} - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}))$

Schritt 8.2

Substituiere und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $1$ und $0$ .

$V = π ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}))$

Schritt 8.2.2

Berechne $\frac{x^{5}}{5}$ bei $1$ und $0$ .

$V = π (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 8.2.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 8.2.3.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{0}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 8.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 8.2.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 8.2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 8.2.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{0}{1} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 8.2.3.3.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$V = π (\frac{1}{3} - 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 8.2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$V = π (\frac{1}{3} + 0 - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 8.2.3.5

Addiere $\frac{1}{3}$ und $0$ .

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 8.2.3.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Schritt 8.2.3.7

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0}{5}))$

Schritt 8.2.3.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.8.1

Faktorisiere $5$ aus $0$ heraus.

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 (0)}{5}))$

Schritt 8.2.3.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.8.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

Schritt 8.2.3.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

Schritt 8.2.3.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - \frac{0}{1}))$

Schritt 8.2.3.8.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} - 0))$

Schritt 8.2.3.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$V = π (\frac{1}{3} - (\frac{1}{5} + 0))$

Schritt 8.2.3.10

Addiere $\frac{1}{5}$ und $0$ .

$V = π (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})$

Schritt 8.2.3.11

Um $\frac{1}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5})$

Schritt 8.2.3.12

Um $- \frac{1}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 8.2.3.13

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $15$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.3.13.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{5}{3 \cdot 5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 8.2.3.13.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$V = π (\frac{5}{15} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 8.2.3.13.3

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{5}{15} - \frac{3}{5 \cdot 3})$

Schritt 8.2.3.13.4

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$V = π (\frac{5}{15} - \frac{3}{15})$

Schritt 8.2.3.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = π (\frac{5 - 3}{15})$

Schritt 8.2.3.15

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$V = π (\frac{2}{15})$

Schritt 8.2.3.16

Kombiniere $π$ und $\frac{2}{15}$ .

$V = \frac{π \cdot 2}{15}$

Schritt 8.2.3.17

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$V = \frac{2 π}{15}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$V = \frac{2 π}{15}$

Dezimalform:

$V = 0.41887902 \dots$

Schritt 10