Analysis Beispiele

$y = 4 \sqrt{x}$ , $y = 4$ , $x = 0$

Schritt 1

Um das Volumen des Körpers zu bestimmen, definiere zuerst die Fläche jeder Scheibe und integriere anschließend über den Wertebereich. Die Fläche jeder Scheibe ist die Fläche eines Kreises mit Radius $f (x)$ und $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{1} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ , wobei $f (x) = 4$ und $g (x) = 4 \sqrt{x}$

Schritt 2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$V = 16 - {(4 \sqrt{x})}^{2}$

Schritt 2.2

Wende die Produktregel auf $4 \sqrt{x}$ an.

$V = 16 - (4^{2} {\sqrt{x}}^{2})$

Schritt 2.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$V = 16 - (16 {\sqrt{x}}^{2})$

Schritt 2.4

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$V = 16 - (16 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2})$

Schritt 2.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 16 - (16 x^{\frac{1}{2} \cdot 2})$

Schritt 2.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$V = 16 - (16 x^{\frac{2}{2}})$

Schritt 2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = 16 - (16 x^{\frac{2}{2}})$

Schritt 2.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$V = 16 - (16 x)$

Schritt 2.4.5

Vereinfache.

$V = 16 - (16 x)$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $16$ mit $- 1$ .

$V = 16 - 16 x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$V = π (\int_{0}^{1} 16 d x + \int_{0}^{1} - 16 x d x)$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$V = π (16 x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 16 x d x)$

Schritt 5

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 16$ aus dem Integral.

$V = π (16 x]_{0}^{1} - 16 \int_{0}^{1} x d x)$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (16 x]_{0}^{1} - 16 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1}))$

Schritt 7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$V = π (16 x]_{0}^{1} - 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}))$

Schritt 7.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Berechne $16 x$ bei $1$ und $0$ .

$V = π ((16 \cdot 1) - 16 \cdot 0 - 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{1}))$

Schritt 7.2.2

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $1$ und $0$ .

$V = π (16 \cdot 1 - 16 \cdot 0 - 16 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 7.2.3

Vereinfache.

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Schritt 7.2.3.1

Mutltipliziere $16$ mit $1$ .

$V = π (16 - 16 \cdot 0 - 16 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 7.2.3.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $0$ .

$V = π (16 + 0 - 16 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 7.2.3.3

Addiere $16$ und $0$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 7.2.3.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} - \frac{0^{2}}{2}))$

Schritt 7.2.3.5

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} - \frac{0}{2}))$

Schritt 7.2.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 7.2.3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} - \frac{2 (0)}{2}))$

Schritt 7.2.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

Schritt 7.2.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}))$

Schritt 7.2.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} - \frac{0}{1}))$

Schritt 7.2.3.6.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} - 0))$

Schritt 7.2.3.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2} + 0))$

Schritt 7.2.3.8

Addiere $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$V = π (16 - 16 (\frac{1}{2}))$

Schritt 7.2.3.9

Kombiniere $- 16$ und $\frac{1}{2}$ .

$V = π (16 + \frac{- 16}{2})$

Schritt 7.2.3.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 16$ und $2$ .

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Schritt 7.2.3.10.1

Faktorisiere $2$ aus $- 16$ heraus.

$V = π (16 + \frac{2 \cdot - 8}{2})$

Schritt 7.2.3.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.3.10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$V = π (16 + \frac{2 \cdot - 8}{2 (1)})$

Schritt 7.2.3.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = π (16 + \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 1})$

Schritt 7.2.3.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$V = π (16 + \frac{- 8}{1})$

Schritt 7.2.3.10.2.4

Dividiere $- 8$ durch $1$ .

$V = π (16 - 8)$

Schritt 7.2.3.11

Subtrahiere $8$ von $16$ .

$V = π \cdot 8$

Schritt 7.2.3.12

Bringe $8$ auf die linke Seite von $π$ .

$V = 8 π$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$V = 8 π$

Dezimalform:

$V = 25.13274122 \dots$

Schritt 9