Analysis Beispiele

$y = \tan (4 x^{2})$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\tan (4 x^{2}))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = 4 x^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\tan (u)$ nach $u$ ist $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x^{2}$ .

$\sec^{2} (4 x^{2}) \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\sec^{2} (4 x^{2}) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\sec^{2} (4 x^{2}) (4 (2 x))$

Schritt 3.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\sec^{2} (4 x^{2}) (8 x)$

Schritt 3.2.3.2

Stelle die Faktoren von $\sec^{2} (4 x^{2}) (8 x)$ um.

$8 x \sec^{2} (4 x^{2})$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 8 x \sec^{2} (4 x^{2})$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 8 x \sec^{2} (4 x^{2})$