Analysis Beispiele

$y = \arctan (\sqrt{7 x^{2} - 1})$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7 x^{2} - 1}$ als ${(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \arctan ({(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arctan ({(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}))$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch ${(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.1.2

Die Ableitung von $\arctan (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch ${(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {({(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{1 + {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{1 + {(7 x^{2} - 1)}^{1}} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.3

Vereinfache.

$\frac{1}{1 + 7 x^{2} - 1} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.4

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{1}{7 x^{2} + 0} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.4.2

Addiere $7 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{1}{7 x^{2}} \frac{d}{d x} [{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 7 x^{2} - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $7 x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

Schritt 4.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

Schritt 4.5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $7 x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

Schritt 4.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

Schritt 4.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

Schritt 4.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

Schritt 4.9

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

Schritt 4.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

Schritt 4.10

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.10.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2} {(7 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

Schritt 4.10.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(7 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{{(7 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

Schritt 4.10.3

Bringe ${(7 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{7 x^{2}} (\frac{1}{2 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1])$

Schritt 4.10.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{7 x^{2}}$ .

$\frac{1}{2 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} (7 x^{2})} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1]$

Schritt 4.10.5

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} \frac{d}{d x} [7 x^{2} - 1]$

Schritt 4.11

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $7 x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 4.12

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x^{2}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 4.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 4.14

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} (14 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 4.15

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} (14 x + 0)$

Schritt 4.16

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.16.1

Addiere $14 x$ und $0$ .

$\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} (14 x)$

Schritt 4.16.2

Kombiniere $14$ und $\frac{1}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$ .

$\frac{14}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}} x$

Schritt 4.16.3

Kombiniere $\frac{14}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$ und $x$ .

$\frac{14 x}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 4.16.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{14 x}{14 {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 4.16.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 4.17

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{1}}{{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 4.18

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{x \cdot 1}{{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}$

Schritt 4.19

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.19.1

Faktorisiere $x$ aus ${(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ heraus.

$\frac{x \cdot 1}{x ({(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x)}$

Schritt 4.19.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot 1}{x ({(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x)}$

Schritt 4.19.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{{(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}} x}$

Schritt 4.20

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{x {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{1}{x {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x {(7 x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$