Analysis Beispiele

$y = x^{- \frac{2}{5}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{- \frac{2}{5}})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{2}{5}$ .

$- \frac{2}{5} x^{- \frac{2}{5} - 1}$

Schritt 3.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{2}{5} x^{- \frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}$

Schritt 3.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{2}{5} x^{- \frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{2}{5} x^{\frac{- 2 - 1 \cdot 5}{5}}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- \frac{2}{5} x^{\frac{- 2 - 5}{5}}$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $5$ von $- 2$ .

$- \frac{2}{5} x^{\frac{- 7}{5}}$

Schritt 3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{5} x^{- \frac{7}{5}}$

Schritt 3.7

Vereinfache.

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Schritt 3.7.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{x^{\frac{7}{5}}}$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{\frac{7}{5}}}$ mit $\frac{2}{5}$ .

$- \frac{2}{x^{\frac{7}{5}} \cdot 5}$

Schritt 3.7.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x^{\frac{7}{5}}$ .

$- \frac{2}{5 x^{\frac{7}{5}}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{2}{5 x^{\frac{7}{5}}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2}{5 x^{\frac{7}{5}}}$