Analysis Beispiele

$y = \ln (x^{2})$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{2}))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} (2 x)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{x^{2}} x$

Schritt 3.2.2.2

Kombiniere $\frac{2}{x^{2}}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2}}$

Schritt 3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 3.2.2.3.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Schritt 3.2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.2.3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Schritt 3.2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Schritt 3.2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{x}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{2}{x}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x}$