Analysis Beispiele

$y = \arcsin (2 x^{5})$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arcsin (2 x^{5}))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arcsin (x)$ und $g (x) = 2 x^{5}$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x^{5}$ .

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{5}]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\arcsin (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x^{5}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x^{5})}^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{5}$ heraus.

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 (x^{5}))}^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}]$

Schritt 3.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.2.1

Wende die Produktregel auf $2 (x^{5})$ an.

$\frac{1}{\sqrt{1 - (2^{2} {(x^{5})}^{2})}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}]$

Schritt 3.2.2.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (4 {(x^{5})}^{2})}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}]$

Schritt 3.2.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (4 x^{5 \cdot 2})}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}]$

Schritt 3.2.2.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - (4 x^{10})}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}]$

Schritt 3.2.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{10}}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}]$

Schritt 3.2.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{5}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{10}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{10}}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{10}}} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 3.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{10}}} (5 x^{4})$

Schritt 3.2.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.6.1

Kombiniere $5$ und $\frac{2}{\sqrt{1 - 4 x^{10}}}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{\sqrt{1 - 4 x^{10}}} x^{4}$

Schritt 3.2.6.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{10}{\sqrt{1 - 4 x^{10}}} x^{4}$

Schritt 3.2.6.3

Kombiniere $\frac{10}{\sqrt{1 - 4 x^{10}}}$ und $x^{4}$ .

$\frac{10 x^{4}}{\sqrt{1 - 4 x^{10}}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{10 x^{4}}{\sqrt{1 - 4 x^{10}}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{10 x^{4}}{\sqrt{1 - 4 x^{10}}}$