Analysis Beispiele

$y = \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = | \sec (x) + \tan (x) |$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $| \sec (x) + \tan (x) |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| \sec (x) + \tan (x) |]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| \sec (x) + \tan (x) |]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $| \sec (x) + \tan (x) |$ .

$\frac{1}{| \sec (x) + \tan (x) |} \frac{d}{d x} [| \sec (x) + \tan (x) |]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = | x |$ und $g (x) = \sec (x) + \tan (x)$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\sec (x) + \tan (x)$ .

$\frac{1}{| \sec (x) + \tan (x) |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)])$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $| u_{2} |$ nach $u_{2}$ ist $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| \sec (x) + \tan (x) |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sec (x) + \tan (x)$ .

$\frac{1}{| \sec (x) + \tan (x) |} (\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| \sec (x) + \tan (x) |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)])$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| \sec (x) + \tan (x) |}$ mit $\frac{1}{| \sec (x) + \tan (x) |}$ .

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| \sec (x) + \tan (x) | | \sec (x) + \tan (x) |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Schritt 3.4

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| (\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x)) |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Schritt 3.5

Potenziere $\sec (x) + \tan (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{1} (\sec (x) + \tan (x)) |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Schritt 3.6

Potenziere $\sec (x) + \tan (x)$ mit $1$ .

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{1} {(\sec (x) + \tan (x))}^{1} |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Schritt 3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Summenregel.

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Schritt 3.8.1

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{2} |} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

Schritt 3.8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sec (x) + \tan (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{2} |} (\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Schritt 3.9

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{2} |} (\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Schritt 3.10

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{2} |} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

Schritt 3.11

Vereinfache.

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Schritt 3.11.1

Stelle die Faktoren von $\frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{2} |} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$ um.

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{\sec (x) + \tan (x)}{| {(\sec (x) + \tan (x))}^{2} |}$

Schritt 3.11.2

Entferne nicht-negative Terme aus dem Absolutwert.

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{\sec (x) + \tan (x)}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Schritt 3.11.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\sec (x) + \tan (x)$ und ${(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$ .

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Schritt 3.11.3.1

Multipliziere mit $1$ .

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{(\sec (x) + \tan (x)) \cdot 1}{{(\sec (x) + \tan (x))}^{2}}$

Schritt 3.11.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.11.3.2.1

Faktorisiere $\sec (x) + \tan (x)$ aus ${(\sec (x) + \tan (x))}^{2}$ heraus.

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{(\sec (x) + \tan (x)) \cdot 1}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))}$

Schritt 3.11.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{(\sec (x) + \tan (x)) \cdot 1}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))}$

Schritt 3.11.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

Schritt 3.11.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec (x) \tan (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} + \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

Schritt 3.11.5

Multipliziere $\sec (x) \tan (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ .

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Schritt 3.11.5.1

Kombiniere $\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ und $\sec (x)$ .

$\frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} \tan (x) + \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

Schritt 3.11.5.2

Kombiniere $\frac{\sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$ und $\tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \sec^{2} (x) \frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$

Schritt 3.11.6

Kombiniere $\sec^{2} (x)$ und $\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Schritt 3.11.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Schritt 3.11.8

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)$ heraus.

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Schritt 3.11.8.1

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec (x) \tan (x)$ heraus.

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Schritt 3.11.8.2

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec^{2} (x)$ heraus.

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Schritt 3.11.8.3

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \sec (x)$ heraus.

$\frac{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}$