Analysis Beispiele

$y = \ln (| 3 x^{2} - 5 x |)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (| 3 x^{2} - 5 x |))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = | 3 x^{2} - 5 x |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $| 3 x^{2} - 5 x |$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [| 3 x^{2} - 5 x |]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [| 3 x^{2} - 5 x |]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $| 3 x^{2} - 5 x |$ .

$\frac{1}{| 3 x^{2} - 5 x |} \frac{d}{d x} [| 3 x^{2} - 5 x |]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = | x |$ und $g (x) = 3 x^{2} - 5 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 x^{2} - 5 x$ .

$\frac{1}{| 3 x^{2} - 5 x |} (\frac{d}{d u_{2}} [| u_{2} |] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x])$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $| u_{2} |$ nach $u_{2}$ ist $\frac{u_{2}}{| u_{2} |}$ .

$\frac{1}{| 3 x^{2} - 5 x |} (\frac{u_{2}}{| u_{2} |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 x^{2} - 5 x$ .

$\frac{1}{| 3 x^{2} - 5 x |} (\frac{3 x^{2} - 5 x}{| 3 x^{2} - 5 x |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x])$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $\frac{3 x^{2} - 5 x}{| 3 x^{2} - 5 x |}$ mit $\frac{1}{| 3 x^{2} - 5 x |}$ .

$\frac{3 x^{2} - 5 x}{| 3 x^{2} - 5 x | | 3 x^{2} - 5 x |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x]$

Schritt 3.4

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\frac{3 x^{2} - 5 x}{| (3 x^{2} - 5 x) (3 x^{2} - 5 x) |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x]$

Schritt 3.5

Potenziere $3 x^{2} - 5 x$ mit $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 5 x}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{1} (3 x^{2} - 5 x) |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x]$

Schritt 3.6

Potenziere $3 x^{2} - 5 x$ mit $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 5 x}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{1} {(3 x^{2} - 5 x)}^{1} |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x]$

Schritt 3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 x^{2} - 5 x}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{1 + 1} |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x]$

Schritt 3.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 5 x}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{2} |} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x]$

Schritt 3.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} - 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{3 x^{2} - 5 x}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{2} |} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Schritt 3.10

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{3 x^{2} - 5 x}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{2} |} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Schritt 3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{3 x^{2} - 5 x}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{2} |} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Schritt 3.12

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{3 x^{2} - 5 x}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{2} |} (6 x + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Schritt 3.13

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 x^{2} - 5 x}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{2} |} (6 x - 5 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{3 x^{2} - 5 x}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{2} |} (6 x - 5 \cdot 1)$

Schritt 3.15

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 5 x}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{2} |} (6 x - 5)$

Schritt 3.16

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.16.1

Stelle die Faktoren von $\frac{3 x^{2} - 5 x}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{2} |} (6 x - 5)$ um.

$(6 x - 5) \frac{3 x^{2} - 5 x}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{2} |}$

Schritt 3.16.2

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2} - 5 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.16.2.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$(6 x - 5) \frac{x (3 x) - 5 x}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{2} |}$

Schritt 3.16.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 5 x$ heraus.

$(6 x - 5) \frac{x (3 x) + x \cdot - 5}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{2} |}$

Schritt 3.16.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x (3 x) + x \cdot - 5$ heraus.

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| {(3 x^{2} - 5 x)}^{2} |}$

Schritt 3.16.3

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.16.3.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2} - 5 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.16.3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| {(x (3 x) - 5 x)}^{2} |}$

Schritt 3.16.3.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 5 x$ heraus.

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| {(x (3 x) + x \cdot - 5)}^{2} |}$

Schritt 3.16.3.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x (3 x) + x \cdot - 5$ heraus.

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| {(x (3 x - 5))}^{2} |}$

Schritt 3.16.3.2

Wende die Produktregel auf $x (3 x - 5)$ an.

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} {(3 x - 5)}^{2} |}$

Schritt 3.16.3.3

Schreibe ${(3 x - 5)}^{2}$ als $(3 x - 5) (3 x - 5)$ um.

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} ((3 x - 5) (3 x - 5)) |}$

Schritt 3.16.3.4

Multipliziere $(3 x - 5) (3 x - 5)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.16.3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (3 x (3 x - 5) - 5 (3 x - 5)) |}$

Schritt 3.16.3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x - 5)) |}$

Schritt 3.16.3.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5) |}$

Schritt 3.16.3.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.16.3.5.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.16.3.5.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5) |}$

Schritt 3.16.3.5.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.16.3.5.1.2.1

Bewege $x$ .

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5) |}$

Schritt 3.16.3.5.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5) |}$

Schritt 3.16.3.5.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (9 x^{2} + 3 x \cdot - 5 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5) |}$

Schritt 3.16.3.5.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (9 x^{2} - 15 x - 5 (3 x) - 5 \cdot - 5) |}$

Schritt 3.16.3.5.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 5$ .

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (9 x^{2} - 15 x - 15 x - 5 \cdot - 5) |}$

Schritt 3.16.3.5.1.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 5$ .

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (9 x^{2} - 15 x - 15 x + 25) |}$

Schritt 3.16.3.5.2

Subtrahiere $15 x$ von $- 15 x$ .

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (9 x^{2} - 30 x + 25) |}$

Schritt 3.16.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 30 x) + x^{2} \cdot 25 |}$

Schritt 3.16.3.7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.16.3.7.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| 9 x^{2} x^{2} + x^{2} (- 30 x) + x^{2} \cdot 25 |}$

Schritt 3.16.3.7.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| 9 x^{2} x^{2} - 30 x^{2} x + x^{2} \cdot 25 |}$

Schritt 3.16.3.7.3

Bringe $25$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| 9 x^{2} x^{2} - 30 x^{2} x + 25 \cdot x^{2} |}$

Schritt 3.16.3.8

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.16.3.8.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.16.3.8.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| 9 (x^{2} x^{2}) - 30 x^{2} x + 25 \cdot x^{2} |}$

Schritt 3.16.3.8.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| 9 x^{2 + 2} - 30 x^{2} x + 25 \cdot x^{2} |}$

Schritt 3.16.3.8.1.3

Addiere $2$ und $2$ .

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| 9 x^{4} - 30 x^{2} x + 25 \cdot x^{2} |}$

Schritt 3.16.3.8.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.16.3.8.2.1

Bewege $x$ .

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| 9 x^{4} - 30 (x \cdot x^{2}) + 25 \cdot x^{2} |}$

Schritt 3.16.3.8.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.16.3.8.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| 9 x^{4} - 30 (x^{1} x^{2}) + 25 \cdot x^{2} |}$

Schritt 3.16.3.8.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| 9 x^{4} - 30 x^{1 + 2} + 25 \cdot x^{2} |}$

Schritt 3.16.3.8.2.3

Addiere $1$ und $2$ .

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| 9 x^{4} - 30 x^{3} + 25 \cdot x^{2} |}$

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| 9 x^{4} - 30 x^{3} + 25 x^{2} |}$

Schritt 3.16.3.9

Faktorisiere $x^{2}$ aus $9 x^{4} - 30 x^{3} + 25 x^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.16.3.9.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $9 x^{4}$ heraus.

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (9 x^{2}) - 30 x^{3} + 25 x^{2} |}$

Schritt 3.16.3.9.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 30 x^{3}$ heraus.

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 30 x) + 25 x^{2} |}$

Schritt 3.16.3.9.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $25 x^{2}$ heraus.

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 30 x) + x^{2} \cdot 25 |}$

Schritt 3.16.3.9.4

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (9 x^{2}) + x^{2} (- 30 x)$ heraus.

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (9 x^{2} - 30 x) + x^{2} \cdot 25 |}$

Schritt 3.16.3.9.5

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (9 x^{2} - 30 x) + x^{2} \cdot 25$ heraus.

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} (9 x^{2} - 30 x + 25) |}$

Schritt 3.16.3.10

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.16.3.10.1

Schreibe $9 x^{2}$ als ${(3 x)}^{2}$ um.

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} ({(3 x)}^{2} - 30 x + 25) |}$

Schritt 3.16.3.10.2

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} ({(3 x)}^{2} - 30 x + 5^{2}) |}$

Schritt 3.16.3.10.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$30 x = 2 \cdot (3 x) \cdot 5$

Schritt 3.16.3.10.4

Schreibe das Polynom neu.

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} ({(3 x)}^{2} - 2 \cdot (3 x) \cdot 5 + 5^{2}) |}$

Schritt 3.16.3.10.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = 3 x$ und $b = 5$ .

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{| x^{2} {(3 x - 5)}^{2} |}$

Schritt 3.16.4

Entferne nicht-negative Terme aus dem Absolutwert.

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{x^{2} {(3 x - 5)}^{2}}$

Schritt 3.16.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.16.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} {(3 x - 5)}^{2}$ heraus.

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{x (x {(3 x - 5)}^{2})}$

Schritt 3.16.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(6 x - 5) \frac{x (3 x - 5)}{x (x {(3 x - 5)}^{2})}$

Schritt 3.16.5.3

Forme den Ausdruck um.

$(6 x - 5) \frac{3 x - 5}{x {(3 x - 5)}^{2}}$

Schritt 3.16.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 x - 5$ und ${(3 x - 5)}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.16.6.1

Multipliziere mit $1$ .

$(6 x - 5) \frac{(3 x - 5) \cdot 1}{x {(3 x - 5)}^{2}}$

Schritt 3.16.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.16.6.2.1

Faktorisiere $3 x - 5$ aus $x {(3 x - 5)}^{2}$ heraus.

$(6 x - 5) \frac{(3 x - 5) \cdot 1}{(3 x - 5) (x (3 x - 5))}$

Schritt 3.16.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(6 x - 5) \frac{(3 x - 5) \cdot 1}{(3 x - 5) (x (3 x - 5))}$

Schritt 3.16.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$(6 x - 5) \frac{1}{x (3 x - 5)}$

Schritt 3.16.7

Mutltipliziere $6 x - 5$ mit $\frac{1}{x (3 x - 5)}$ .

$\frac{6 x - 5}{x (3 x - 5)}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{6 x - 5}{x (3 x - 5)}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x - 5}{x (3 x - 5)}$