Analysis Beispiele

$y = x^{2} \sqrt{8 x - 5}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{8 x - 5}$ als ${(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = x^{2} {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}] + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 8 x - 5$ .

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Schritt 4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $8 x - 5$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [8 x - 5]) + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x - 5]) + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $8 x - 5$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x - 5]) + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - 5]) + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - 5]) + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} (\frac{1}{2} {(8 x - 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - 5]) + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(8 x - 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - 5]) + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$x^{2} (\frac{1}{2} {(8 x - 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - 5]) + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} (\frac{1}{2} {(8 x - 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x - 5]) + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(8 x - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{2} (\frac{{(8 x - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [8 x - 5]) + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.7.3

Bringe ${(8 x - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (\frac{1}{2 {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x - 5]) + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.7.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x - 5] + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.9

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.11

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (8 + \frac{d}{d x} [- 5]) + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.12

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (8 + 0) + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.13

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.13.1

Addiere $8$ und $0$ .

$\frac{x^{2}}{2 {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 8 + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.13.2

Kombiniere $\frac{x^{2}}{2 {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ und $8$ .

$\frac{x^{2} \cdot 8}{2 {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.13.3

Bringe $8$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{8 \cdot x^{2}}{2 {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.13.4

Faktorisiere $2$ aus $8 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 (4 x^{2})}{2 {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.14

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.14.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (4 x^{2})}{2 ({(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}})} + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (4 x^{2})}{2 {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.14.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 x^{2}}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4.15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{4 x^{2}}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} + {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} (2 x)$

Schritt 4.16

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 x^{2}}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} x$

Schritt 4.17

Vereinige $\frac{4 x^{2}}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ und $2 {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} x$ mithilfe eines gemeinsamen Nenners.

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Schritt 4.17.1

Bewege ${(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 x^{2}}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.17.2

Um $2 x {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 x^{2}}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.17.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 x^{2} + 2 x {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.18

Multipliziere ${(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.18.1

Bewege ${(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 x ({(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}} {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.18.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 x^{2} + 2 x {(8 x - 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.18.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 x^{2} + 2 x {(8 x - 5)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.18.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 x {(8 x - 5)}^{\frac{2}{2}}}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.18.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 x {(8 x - 5)}^{1}}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.19

Vereinfache $2 x {(8 x - 5)}^{1}$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 x (8 x - 5)}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.20

Vereinfache.

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Schritt 4.20.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x^{2} + 2 x (8 x) + 2 x \cdot - 5}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.20.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.20.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.20.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{4 x^{2} + 2 \cdot 8 x \cdot x + 2 x \cdot - 5}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.20.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.20.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 \cdot 8 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 5}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.20.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 \cdot 8 x^{2} + 2 x \cdot - 5}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.20.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{4 x^{2} + 16 x^{2} + 2 x \cdot - 5}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.20.2.1.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$\frac{4 x^{2} + 16 x^{2} - 10 x}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.20.2.2

Addiere $4 x^{2}$ und $16 x^{2}$ .

$\frac{20 x^{2} - 10 x}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.20.3

Faktorisiere $10 x$ aus $20 x^{2} - 10 x$ heraus.

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Schritt 4.20.3.1

Faktorisiere $10 x$ aus $20 x^{2}$ heraus.

$\frac{10 x (2 x) - 10 x}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.20.3.2

Faktorisiere $10 x$ aus $- 10 x$ heraus.

$\frac{10 x (2 x) + 10 x (- 1)}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.20.3.3

Faktorisiere $10 x$ aus $10 x (2 x) + 10 x (- 1)$ heraus.

$\frac{10 x (2 x - 1)}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{10 x (2 x - 1)}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{10 x (2 x - 1)}{{(8 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$