Analysis Beispiele

$y = x^{2} {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{2} {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}}] + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ und $g (x) = 4 - 6 x^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 - 6 x^{2}$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $4 - 6 x^{2}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{2} (\frac{1}{3} {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} (\frac{1}{3} {(4 - 6 x^{2})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.7.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und ${(4 - 6 x^{2})}^{- \frac{2}{3}}$ .

$x^{2} (\frac{{(4 - 6 x^{2})}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.7.3

Bringe ${(4 - 6 x^{2})}^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.7.4

Kombiniere $\frac{1}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$ und $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [4 - 6 x^{2}] + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - 6 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.9

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.11

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} (- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.12

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.12.1

Kombiniere $- 6$ und $\frac{x^{2}}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.12.2

Faktorisiere $3$ aus $- 6 x^{2}$ heraus.

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.13.1

Faktorisiere $3$ aus $3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 ({(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}})} \frac{d}{d x} [x^{2}] + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.13.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 x^{2}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(2) x^{2}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2}] + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{2 x^{2}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} (2 x) + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.16

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.16.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \frac{2 x^{2}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} x + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.16.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2 x^{2}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- 2 (2 x^{2})}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} x + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.16.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} x + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.16.4

Kombiniere $\frac{- 4 x^{2}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$ und $x$ .

$\frac{- 4 x^{2} x}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.17

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 4 (x^{1} x^{2})}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.18

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 4 x^{1 + 2}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.19

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.19.1

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.19.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(4) x^{3}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.20

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{4 x^{3}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} + {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} (2 x)$

Schritt 3.21

Stelle um.

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Schritt 3.21.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{4 x^{3}}{{(4 - 6 x^{2})}^{\frac{2}{3}}} + 2 \cdot {(4 - 6 x^{2})}^{\frac{1}{3}} x$

Schritt 3.21.2

Bewege ${(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{4 x^{3}}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}} + 2 x {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 3.22

Um $2 x {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{4 x^{3}}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 x {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3}} {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.23

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 4 x^{3} + 2 x {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3}} {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.24

Multipliziere ${(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3}}$ mit ${(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.24.1

Bewege ${(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{- 4 x^{3} + 2 x ({(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}} {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{1}{3}})}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.24.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 4 x^{3} + 2 x {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.24.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 4 x^{3} + 2 x {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2 + 1}{3}}}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.24.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{- 4 x^{3} + 2 x {(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.24.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$\frac{- 4 x^{3} + 2 x {(- 6 x^{2} + 4)}^{1}}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.25

Vereinfache $2 x {(- 6 x^{2} + 4)}^{1}$ .

$\frac{- 4 x^{3} + 2 x (- 6 x^{2} + 4)}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.26

Vereinfache.

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Schritt 3.26.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 4 x^{3} + 2 x (- 6 x^{2}) + 2 x \cdot 4}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.26.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.26.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.26.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- 4 x^{3} + 2 \cdot - 6 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 4}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.26.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.26.2.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{- 4 x^{3} + 2 \cdot - 6 (x^{2} x) + 2 x \cdot 4}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.26.2.1.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 3.26.2.1.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 4 x^{3} + 2 \cdot - 6 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 4}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.26.2.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- 4 x^{3} + 2 \cdot - 6 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 4}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.26.2.1.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{- 4 x^{3} + 2 \cdot - 6 x^{3} + 2 x \cdot 4}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.26.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$\frac{- 4 x^{3} - 12 x^{3} + 2 x \cdot 4}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.26.2.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{- 4 x^{3} - 12 x^{3} + 8 x}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.26.2.2

Subtrahiere $12 x^{3}$ von $- 4 x^{3}$ .

$\frac{- 16 x^{3} + 8 x}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.26.3

Faktorisiere $8 x$ aus $- 16 x^{3} + 8 x$ heraus.

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Schritt 3.26.3.1

Faktorisiere $8 x$ aus $- 16 x^{3}$ heraus.

$\frac{8 x (- 2 x^{2}) + 8 x}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.26.3.2

Faktorisiere $8 x$ aus $8 x$ heraus.

$\frac{8 x (- 2 x^{2}) + 8 x (1)}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.26.3.3

Faktorisiere $8 x$ aus $8 x (- 2 x^{2}) + 8 x (1)$ heraus.

$\frac{8 x (- 2 x^{2} + 1)}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.26.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$\frac{8 x (- (2 x^{2}) + 1)}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.26.5

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{8 x (- (2 x^{2}) - 1 (- 1))}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.26.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{2}) - 1 (- 1)$ heraus.

$\frac{8 x (- (2 x^{2} - 1))}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.26.7

Schreibe $- (2 x^{2} - 1)$ als $- 1 (2 x^{2} - 1)$ um.

$\frac{8 x (- 1 (2 x^{2} - 1))}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.26.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(8 x) (2 x^{2} - 1)}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3.26.9

Stelle die Faktoren in $- \frac{(8 x) (2 x^{2} - 1)}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$ um.

$- \frac{8 x (2 x^{2} - 1)}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{8 x (2 x^{2} - 1)}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{8 x (2 x^{2} - 1)}{{(- 6 x^{2} + 4)}^{\frac{2}{3}}}$