Analysis Beispiele

$y = x^{- 4 \cos (x)}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{- 4 \cos (x)})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Wende die Logarithmengesetze an, um die Ableitung zu vereinfachen.

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Schritt 3.1.1

Schreibe $x^{- 4 \cos (x)}$ als $e^{\ln (x^{- 4 \cos (x)})}$ um.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{- 4 \cos (x)})}]$

Schritt 3.1.2

Zerlege $\ln (x^{- 4 \cos (x)})$ durch Herausziehen von $- 4 \cos (x)$ aus dem Logarithmus.

$\frac{d}{d x} [e^{- 4 \cos (x) \ln (x)}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 4 \cos (x) \ln (x)$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 4 \cos (x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 4 \cos (x) \ln (x)]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- 4 \cos (x) \ln (x)]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- 4 \cos (x) \ln (x)$ .

$e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [- 4 \cos (x) \ln (x)]$

Schritt 3.3

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 \cos (x) \ln (x)$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$ .

$e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} (- 4 \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} (- 4 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]))$

Schritt 3.5

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} (- 4 (\cos (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]))$

Schritt 3.6

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{1}{x}$ .

$e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} (- 4 (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]))$

Schritt 3.7

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} (- 4 (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) (- \sin (x))))$

Schritt 3.8

Vereinfache.

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Schritt 3.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} (- 4 \frac{\cos (x)}{x} - 4 (\ln (x) (- \sin (x))))$

Schritt 3.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} (- 4 \frac{\cos (x)}{x}) + e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} (- 4 (\ln (x) (- \sin (x))))$

Schritt 3.8.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.8.3.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{\cos (x)}{x}$ .

$e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} \frac{- 4 \cos (x)}{x} + e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} (- 4 (\ln (x) (- \sin (x))))$

Schritt 3.8.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} (- \frac{4 \cos (x)}{x}) + e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} (- 4 (\ln (x) (- \sin (x))))$

Schritt 3.8.3.3

Kombiniere $e^{- 4 \cos (x) \ln (x)}$ und $\frac{4 \cos (x)}{x}$ .

$- \frac{e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} (4 \cos (x))}{x} + e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} (- 4 (\ln (x) (- \sin (x))))$

Schritt 3.8.3.4

Bringe $4$ auf die linke Seite von $e^{- 4 \cos (x) \ln (x)}$ .

$- \frac{4 \cdot e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x} + e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} (- 4 (\ln (x) (- \sin (x))))$

Schritt 3.8.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$- \frac{4 e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x} + e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} (4 \ln (x)) \sin (x)$

Schritt 3.8.4

Stelle die Terme um.

$4 e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} \sin (x) \ln (x) - \frac{4 e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 4 e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} \sin (x) \ln (x) - \frac{4 e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} \sin (x) \ln (x) - \frac{4 e^{- 4 \cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x}$