Analysis Beispiele

$y = x^{6} \ln (x) - \frac{1}{5} x^{5}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{6} \ln (x) - \frac{1}{5} x^{5})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{6} \ln (x) - \frac{1}{5} x^{5}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{6} \ln (x)]$ .

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{6}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{6} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$x^{6} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 6$ .

$x^{6} \frac{1}{x} + \ln (x) (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $x^{6}$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{6}}{x} + \ln (x) (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$

Schritt 3.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{6}$ und $x$ .

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Schritt 3.2.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{6}$ heraus.

$\frac{x \cdot x^{5}}{x} + \ln (x) (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$

Schritt 3.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x \cdot x^{5}}{x^{1}} + \ln (x) (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$

Schritt 3.2.5.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$

Schritt 3.2.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \cdot x^{5}}{x \cdot 1} + \ln (x) (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$

Schritt 3.2.5.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{5}}{1} + \ln (x) (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$

Schritt 3.2.5.2.5

Dividiere $x^{5}$ durch $1$ .

$x^{5} + \ln (x) (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- \frac{1}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{5} x^{5}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$x^{5} + \ln (x) (6 x^{5}) - \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$x^{5} + \ln (x) (6 x^{5}) - \frac{1}{5} (5 x^{4})$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$x^{5} + \ln (x) (6 x^{5}) - 5 (\frac{1}{5}) x^{4}$

Schritt 3.3.4

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{5}$ .

$x^{5} + \ln (x) (6 x^{5}) + \frac{- 5}{5} x^{4}$

Schritt 3.3.5

Kombiniere $\frac{- 5}{5}$ und $x^{4}$ .

$x^{5} + \ln (x) (6 x^{5}) + \frac{- 5 x^{4}}{5}$

Schritt 3.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 5$ und $5$ .

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Schritt 3.3.6.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5 x^{4}$ heraus.

$x^{5} + \ln (x) (6 x^{5}) + \frac{5 (- x^{4})}{5}$

Schritt 3.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.6.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$x^{5} + \ln (x) (6 x^{5}) + \frac{5 (- x^{4})}{5 (1)}$

Schritt 3.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{5} + \ln (x) (6 x^{5}) + \frac{5 (- x^{4})}{5 \cdot 1}$

Schritt 3.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{5} + \ln (x) (6 x^{5}) + \frac{- x^{4}}{1}$

Schritt 3.3.6.2.4

Dividiere $- x^{4}$ durch $1$ .

$x^{5} + \ln (x) (6 x^{5}) - x^{4}$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$x^{5} - x^{4} + 6 x^{5} \ln (x)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = x^{5} - x^{4} + 6 x^{5} \ln (x)$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = x^{5} - x^{4} + 6 x^{5} \ln (x)$