Analysis Beispiele

$\sum_{i = 1}^{\infty} {(- \frac{1}{2})}^{i}$

Schritt 1

Die Summe einer unendlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $\frac{a}{1 - r}$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Schritt 2.1

Setze $a_{i}$ und $a_{i + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i + 1}}{{(- \frac{1}{2})}^{i}}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(- \frac{1}{2})}^{i + 1}$ und ${(- \frac{1}{2})}^{i}$ .

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere ${(- \frac{1}{2})}^{i}$ aus ${(- \frac{1}{2})}^{i + 1}$ heraus.

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i} (- \frac{1}{2})}{{(- \frac{1}{2})}^{i}}$

Schritt 2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i} (- \frac{1}{2})}{{(- \frac{1}{2})}^{i} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{i} (- \frac{1}{2})}{{(- \frac{1}{2})}^{i} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{- \frac{1}{2}}{1}$

Schritt 2.2.2.4

Dividiere $- \frac{1}{2}$ durch $1$ .

$r = - \frac{1}{2}$

Schritt 3

Da $| r | < 1$ , konvergiert die Reihe.

Schritt 4

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

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Schritt 4.1

Setze $1$ für $i$ in ${(- \frac{1}{2})}^{i}$ ein.

$a = {(- \frac{1}{2})}^{1}$

Schritt 4.2

Vereinfache.

$a = - \frac{1}{2}$

Schritt 5

Ersetze die Werte des Verhältnisses und des ersten Terms in der Summenformel.

$\frac{- \frac{1}{2}}{1 - - \frac{1}{2}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - - \frac{1}{2}}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1

Multipliziere $- - \frac{1}{2}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + 1 (\frac{1}{2})}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}$

Schritt 6.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}$

Schritt 6.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 + 1}{2}}$

Schritt 6.2.4

Addiere $2$ und $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}}$

Schritt 6.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{1}{2} (1 (\frac{2}{3}))$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Schritt 6.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Schritt 6.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Schritt 6.5.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{3}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{1}{3}$

Dezimalform:

$- 0.\overline{3}$