Analysis Beispiele

$\sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{10^{i}}$

Schritt 1

Die Summe einer unendlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $\frac{a}{1 - r}$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Schritt 2.1

Setze $a_{i}$ und $a_{i + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{\frac{1}{10^{i + 1}}}{\frac{1}{10^{i}}}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$r = \frac{1}{10^{i + 1}} \cdot 10^{i}$

Schritt 2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{10^{i + 1}}$ und $10^{i}$ .

$r = \frac{10^{i}}{10^{i + 1}}$

Schritt 2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10^{i}$ und $10^{i + 1}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Faktorisiere $10^{i + 1}$ aus $10^{i}$ heraus.

$r = \frac{10^{i + 1} \cdot 10^{i - (i + 1)}}{10^{i + 1}}$

Schritt 2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.3.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{10^{i + 1} \cdot 10^{i - (i + 1)}}{10^{i + 1} \cdot 1}$

Schritt 2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{10^{i + 1} \cdot 10^{i - (i + 1)}}{10^{i + 1} \cdot 1}$

Schritt 2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{10^{i - (i + 1)}}{1}$

Schritt 2.2.3.2.4

Dividiere $10^{i - (i + 1)}$ durch $1$ .

$r = 10^{i - (i + 1)}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$r = 10^{i - i - 1 \cdot 1}$

Schritt 2.2.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$r = 10^{i - i - 1}$

Schritt 2.2.5

Subtrahiere $i$ von $i$ .

$r = 10^{0 - 1}$

Schritt 2.2.6

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$r = 10^{- 1}$

Schritt 2.2.7

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = \frac{1}{10}$

Schritt 3

Da $| r | < 1$ , konvergiert die Reihe.

Schritt 4

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

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Schritt 4.1

Setze $1$ für $i$ in $\frac{1}{10^{i}}$ ein.

$a = \frac{1}{10^{1}}$

Schritt 4.2

Berechne den Exponenten.

$a = \frac{1}{10}$

Schritt 5

Ersetze die Werte des Verhältnisses und des ersten Terms in der Summenformel.

$\frac{\frac{1}{10}}{1 - \frac{1}{10}}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{10}}$

Schritt 6.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{\frac{10}{10} - \frac{1}{10}}$

Schritt 6.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{\frac{10 - 1}{10}}$

Schritt 6.2.3

Subtrahiere $1$ von $10$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{\frac{9}{10}}$

Schritt 6.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{10} (1 (\frac{10}{9}))$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $\frac{10}{9}$ mit $1$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{10}{9}$

Schritt 6.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 6.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{10}{9}$

Schritt 6.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{9}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{9}$

Dezimalform:

$0.\overline{1}$