Analysis Beispiele

$\sum_{i = 1}^{\infty} 3 {(- 3)}^{i}$

Schritt 1

Die Summe einer unendlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $\frac{a}{1 - r}$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ einsetzt und vereinfachst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze $a_{i}$ und $a_{i + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{3 {(- 3)}^{i + 1}}{3 {(- 3)}^{i}}$

Schritt 2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{3 {(- 3)}^{i + 1}}{3 {(- 3)}^{i}}$

Schritt 2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{{(- 3)}^{i + 1}}{{(- 3)}^{i}}$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(- 3)}^{i + 1}$ und ${(- 3)}^{i}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere ${(- 3)}^{i}$ aus ${(- 3)}^{i + 1}$ heraus.

$r = \frac{{(- 3)}^{i} \cdot - 3}{{(- 3)}^{i}}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{{(- 3)}^{i} \cdot - 3}{{(- 3)}^{i} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{{(- 3)}^{i} \cdot - 3}{{(- 3)}^{i} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{- 3}{1}$

Schritt 2.2.2.2.4

Dividiere $- 3$ durch $1$ .

$r = - 3$

Schritt 3

Prüfe, ob die Reihe konvergent oder divergent ist.

Da $| r | \geq 1$ , divergiert die Reihe.