Analysis Beispiele

$\sum_{i = 1}^{7} {(- 3)}^{i}$

Schritt 1

Die Summe einer endlichen geometrischen Reihe kann mit der Formel $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ gefunden werden, wobei $a$ der erste Term und $r$ das Verhältnis zwischen den aufeinanderfolgenden Termen ist.

Schritt 2

Finde das Verhältnis der aufeinanderfolgenden Terme, indem du sie in die Formel $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ einsetzt und vereinfachst.

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Schritt 2.1

Setze $a_{i}$ und $a_{i + 1}$ in die Formel für $r$ ein.

$r = \frac{{(- 3)}^{i + 1}}{{(- 3)}^{i}}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(- 3)}^{i + 1}$ und ${(- 3)}^{i}$ .

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere ${(- 3)}^{i}$ aus ${(- 3)}^{i + 1}$ heraus.

$r = \frac{{(- 3)}^{i} \cdot - 3}{{(- 3)}^{i}}$

Schritt 2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$r = \frac{{(- 3)}^{i} \cdot - 3}{{(- 3)}^{i} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \frac{{(- 3)}^{i} \cdot - 3}{{(- 3)}^{i} \cdot 1}$

Schritt 2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$r = \frac{- 3}{1}$

Schritt 2.2.2.4

Dividiere $- 3$ durch $1$ .

$r = - 3$

Schritt 3

Finde den ersten Term in der Reihe, indem du ihn in der unteren Grenze ersetzt und vereinfachst.

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Schritt 3.1

Setze $1$ für $i$ in ${(- 3)}^{i}$ ein.

$a = {(- 3)}^{1}$

Schritt 3.2

Berechne den Exponenten.

$a = - 3$

Schritt 4

Ersetze die Werte des Verhältnisses, des ersten Terms und die Anzahl der Terme in der Summenformel.

$- 3 \frac{1 - {(- 3)}^{7}}{1 - - 3}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 3$ mit $7$ .

$- 3 \frac{1 - - 2187}{1 - - 3}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2187$ .

$- 3 \frac{1 + 2187}{1 - - 3}$

Schritt 5.1.3

Addiere $1$ und $2187$ .

$- 3 \frac{2188}{1 - - 3}$

Schritt 5.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$- 3 \frac{2188}{1 + 3}$

Schritt 5.2.2

Addiere $1$ und $3$ .

$- 3 (\frac{2188}{4})$

Schritt 5.3

Dividiere $2188$ durch $4$ .

$- 3 \cdot 547$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $547$ .

$- 1641$