Analysis Beispiele

$\sum_{i = 3}^{13} {(i - 3)}^{2}$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(i - 3)}^{2}$ als $(i - 3) (i - 3)$ um.

$(i - 3) (i - 3)$

Schritt 1.2

Multipliziere $(i - 3) (i - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$i (i - 3) - 3 (i - 3)$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$i \cdot i + i \cdot - 3 - 3 (i - 3)$

Schritt 1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$i \cdot i + i \cdot - 3 - 3 i - 3 \cdot - 3$

Schritt 1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Mutltipliziere $i$ mit $i$ .

$i^{2} + i \cdot - 3 - 3 i - 3 \cdot - 3$

Schritt 1.3.1.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $i$ .

$i^{2} - 3 \cdot i - 3 i - 3 \cdot - 3$

Schritt 1.3.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$i^{2} - 3 i - 3 i + 9$

Schritt 1.3.2

Subtrahiere $3 i$ von $- 3 i$ .

$i^{2} - 6 i + 9$

Schritt 1.4

Schreibe die Summe um.

$\sum_{i = 3}^{13} i^{2} - 6 i + 9$

Schritt 2

Zerlege die Addition, damit der Anfangswert von $i$ gleich $1$ ist.

$\sum_{i = 3}^{13} i^{2} - 6 i + 9 = \sum_{i = 1}^{13} i^{2} - 6 i + 9 - \sum_{i = 1}^{2} i^{2} - 6 i + 9$

Schritt 3

Berechne $\sum_{i = 1}^{13} i^{2} - 6 i + 9$ .

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Schritt 3.1

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{k = 1}^{13} i^{2} - 6 i + 9 = \sum_{k = 1}^{13} i^{2} - 6 \sum_{k = 1}^{13} i + \sum_{k = 1}^{13} 9$

Schritt 3.2

Berechne $\sum_{k = 1}^{13} i^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $2$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Schritt 3.2.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$\frac{13 (13 + 1) (2 \cdot 13 + 1)}{6}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.3.1.1

Addiere $13$ und $1$ .

$\frac{13 \cdot 14 (2 \cdot 13 + 1)}{6}$

Schritt 3.2.3.1.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 3.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $13$ mit $14$ .

$\frac{182 (2 \cdot 13 + 1)}{6}$

Schritt 3.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $13$ .

$\frac{182 (26 + 1)}{6}$

Schritt 3.2.3.1.3

Addiere $26$ und $1$ .

$\frac{182 \cdot 27}{6}$

Schritt 3.2.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.3.2.1

Mutltipliziere $182$ mit $27$ .

$\frac{4914}{6}$

Schritt 3.2.3.2.2

Dividiere $4914$ durch $6$ .

$819$

Schritt 3.3

Berechne $6 \sum_{k = 1}^{13} i$ .

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Schritt 3.3.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $1$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Schritt 3.3.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(- 6) (\frac{13 (13 + 1)}{2})$

Schritt 3.3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.3.1.1

Addiere $13$ und $1$ .

$- 6 \frac{13 \cdot 14}{2}$

Schritt 3.3.3.1.2

Mutltipliziere $13$ mit $14$ .

$- 6 (\frac{182}{2})$

Schritt 3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$2 (- 3) \frac{182}{2}$

Schritt 3.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 3 \frac{182}{2}$

Schritt 3.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 3 \cdot 182$

Schritt 3.3.3.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $182$ .

$- 546$

Schritt 3.4

Berechne $\sum_{k = 1}^{13} 9$ .

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Schritt 3.4.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 3.4.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(9) (13)$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $9$ mit $13$ .

$117$

Schritt 3.5

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$819 - 546 + 117$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Subtrahiere $546$ von $819$ .

$273 + 117$

Schritt 3.6.2

Addiere $273$ und $117$ .

$390$

Schritt 4

Berechne $\sum_{i = 1}^{2} i^{2} - 6 i + 9$ .

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Schritt 4.1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $i$ .

$1^{2} - 6 \cdot 1 + 9 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Schritt 4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Potenziere $1$ mit $2$ .

$1 - 6 \cdot 1 + 9 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $1$ .

$1 - 6 + 9 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Schritt 4.2.3

Subtrahiere $6$ von $1$ .

$- 5 + 9 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Schritt 4.2.4

Addiere $- 5$ und $9$ .

$4 + 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Schritt 4.2.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 + 4 - 6 \cdot 2 + 9$

Schritt 4.2.6

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$4 + 4 - 12 + 9$

Schritt 4.2.7

Subtrahiere $12$ von $4$ .

$4 - 8 + 9$

Schritt 4.2.8

Addiere $- 8$ und $9$ .

$4 + 1$

Schritt 4.2.9

Addiere $4$ und $1$ .

$5$

Schritt 5

Ersetze die Aufsummierungen durch die gefundenen Werte.

$390 - 5$

Schritt 6

Subtrahiere $5$ von $390$ .

$385$