Analysis Beispiele

$\sum_{i = 2}^{9} {(- \frac{2}{3})}^{2}$

Schritt 1

Vereinfache die Summe.

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Schritt 1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{2}{3}$ an.

${(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}$

Schritt 1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3}$ an.

${(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}}$

Schritt 1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 \frac{2^{2}}{3^{2}}$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{2^{2}}{3^{2}}$

Schritt 1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4}{3^{2}}$

Schritt 1.5

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{4}{9}$

Schritt 1.6

Schreibe die Summe um.

$\sum_{i = 2}^{9} \frac{4}{9}$

Schritt 2

Zerlege die Addition, damit der Anfangswert von $i$ gleich $1$ ist.

$\sum_{i = 2}^{9} \frac{4}{9} = \sum_{i = 1}^{9} \frac{4}{9} - \sum_{i = 1}^{1} \frac{4}{9}$

Schritt 3

Berechne $\sum_{i = 1}^{9} \frac{4}{9}$ .

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Schritt 3.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 3.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(\frac{4}{9}) (9)$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{9} \cdot 9$

Schritt 3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$4$

Schritt 4

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $i$ .

$\frac{4}{9}$

Schritt 5

Ersetze die Aufsummierungen durch die gefundenen Werte.

$4 - \frac{4}{9}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$4 \cdot \frac{9}{9} - \frac{4}{9}$

Schritt 6.2

Kombiniere $4$ und $\frac{9}{9}$ .

$\frac{4 \cdot 9}{9} - \frac{4}{9}$

Schritt 6.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 \cdot 9 - 4}{9}$

Schritt 6.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.4.1

Mutltipliziere $4$ mit $9$ .

$\frac{36 - 4}{9}$

Schritt 6.4.2

Subtrahiere $4$ von $36$ .

$\frac{32}{9}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{32}{9}$

Dezimalform:

$3.\overline{5}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$3 \frac{5}{9}$