Analysis Beispiele

$\sum_{i = 2}^{8} i^{3}$

Schritt 1

Zerlege die Addition, damit der Anfangswert von $i$ gleich $1$ ist.

$\sum_{k = 2}^{8} i^{3} = \sum_{k = 1}^{8} i^{3} - \sum_{k = 1}^{1} i^{3}$

Schritt 2

Berechne $\sum_{k = 1}^{8} i^{3}$ .

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Schritt 2.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $3$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Schritt 2.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$\frac{8^{2} {(8 + 1)}^{2}}{4}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.1.1

Addiere $8$ und $1$ .

$\frac{8^{2} \cdot 9^{2}}{4}$

Schritt 2.3.1.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{64 \cdot 9^{2}}{4}$

Schritt 2.3.1.3

Potenziere $9$ mit $2$ .

$\frac{64 \cdot 81}{4}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $64$ mit $81$ .

$\frac{5184}{4}$

Schritt 2.3.2.2

Dividiere $5184$ durch $4$ .

$1296$

Schritt 3

Berechne $\sum_{k = 1}^{1} i^{3}$ .

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Schritt 3.1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $i$ .

$1^{3}$

Schritt 3.2

Potenziere $1$ mit $3$ .

$1$

Schritt 4

Ersetze die Aufsummierungen durch die gefundenen Werte.

$1296 - 1$

Schritt 5

Subtrahiere $1$ von $1296$ .

$1295$