Analysis Beispiele

$\sum_{k = 0}^{3} {(- \frac{1}{2})}^{k}$

Schritt 1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $k$ .

${(- \frac{1}{2})}^{0} + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

${(- 1)}^{0} {(\frac{1}{2})}^{0} + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

${(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{2^{0}} + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 2.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1 \frac{1^{0}}{2^{0}} + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $\frac{1^{0}}{2^{0}}$ mit $1$ .

$\frac{1^{0}}{2^{0}} + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 2.1.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{2^{0}} + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 2.1.5

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{1} + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 2.1.6

Dividiere $1$ durch $1$ .

$1 + {(- \frac{1}{2})}^{1} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 2.1.7

Vereinfache.

$1 - \frac{1}{2} + {(- \frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 2.1.8

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.8.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$1 - \frac{1}{2} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 2.1.8.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$1 - \frac{1}{2} + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 2.1.9

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 - \frac{1}{2} + 1 \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 2.1.10

Mutltipliziere $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1^{2}}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 2.1.11

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 2.1.12

Potenziere $2$ mit $2$ .

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + {(- \frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 2.1.13

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.13.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{1}{2}$ an.

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}$

Schritt 2.1.13.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + {(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}}$

Schritt 2.1.14

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1^{3}}{2^{3}}$

Schritt 2.1.15

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{2^{3}}$

Schritt 2.1.16

Potenziere $2$ mit $3$ .

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

Schritt 2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{1}{1} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{1}{1} \cdot \frac{8}{8} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{8}{8}$ .

$\frac{8}{8} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{8}{8} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{4}) + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{8}{8} - \frac{4}{2 \cdot 4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8}{8} - \frac{4}{2 \cdot 4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{8}$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8}{8} - \frac{4}{2 \cdot 4} + \frac{2}{4 \cdot 2} - \frac{1}{8}$

Schritt 2.2.8

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{8}{8} - \frac{4}{8} + \frac{2}{4 \cdot 2} - \frac{1}{8}$

Schritt 2.2.9

Stelle die Faktoren von $4 \cdot 2$ um.

$\frac{8}{8} - \frac{4}{8} + \frac{2}{2 \cdot 4} - \frac{1}{8}$

Schritt 2.2.10

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{8}{8} - \frac{4}{8} + \frac{2}{8} - \frac{1}{8}$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{8 - 4 + 2 - 1}{8}$

Schritt 2.4

Subtrahiere $4$ von $8$ .

$\frac{4 + 2 - 1}{8}$

Schritt 2.5

Addiere $4$ und $2$ .

$\frac{6 - 1}{8}$

Schritt 2.6

Subtrahiere $1$ von $6$ .

$\frac{5}{8}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{5}{8}$

Dezimalform:

$0.625$