Analysis Beispiele

$\sum_{j = 3}^{5} \frac{1}{j^{2} - 3}$

Schritt 1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $j$ .

$\frac{1}{3^{2} - 3} + \frac{1}{4^{2} - 3} + \frac{1}{5^{2} - 3}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3^{2} - 3}$ mit $\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$ .

$\frac{1}{3^{2} - 3} \cdot \frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{1}{4^{2} - 3} + \frac{1}{5^{2} - 3}$

Schritt 2.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3^{2} - 3}$ mit $\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$ .

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) ((4^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{1}{4^{2} - 3} + \frac{1}{5^{2} - 3}$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{4^{2} - 3}$ mit $\frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$ .

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) ((4^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{1}{4^{2} - 3} \cdot \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{1}{5^{2} - 3}$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{4^{2} - 3}$ mit $\frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$ .

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) ((4^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{1}{5^{2} - 3}$

Schritt 2.1.5

Mutltipliziere $\frac{1}{5^{2} - 3}$ mit $\frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}$ .

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) ((4^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{1}{5^{2} - 3} \cdot \frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}$

Schritt 2.1.6

Mutltipliziere $\frac{1}{5^{2} - 3}$ mit $\frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}$ .

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) ((4^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(5^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (4^{2} - 3))}$

Schritt 2.1.7

Stelle die Faktoren von $(3^{2} - 3) ((4^{2} - 3) (5^{2} - 3))$ um.

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(4^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (5^{2} - 3))} + \frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(5^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (4^{2} - 3))}$

Schritt 2.1.8

Stelle die Faktoren von $(4^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (5^{2} - 3))$ um.

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(5^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (4^{2} - 3))}$

Schritt 2.1.9

Stelle die Faktoren von $(5^{2} - 3) ((3^{2} - 3) (4^{2} - 3))$ um.

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{(3^{2} - 3) (5^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)} + \frac{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Schritt 2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(4^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Schritt 2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{(16 - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Schritt 2.3.2

Subtrahiere $3$ von $16$ .

$\frac{13 (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Schritt 2.3.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{13 (25 - 3) + (3^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Schritt 2.3.4

Subtrahiere $3$ von $25$ .

$\frac{13 \cdot 22 + (3^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $13$ mit $22$ .

$\frac{286 + (3^{2} - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Schritt 2.3.6

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{286 + (9 - 3) (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Schritt 2.3.7

Subtrahiere $3$ von $9$ .

$\frac{286 + 6 (5^{2} - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Schritt 2.3.8

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{286 + 6 (25 - 3) + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Schritt 2.3.9

Subtrahiere $3$ von $25$ .

$\frac{286 + 6 \cdot 22 + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Schritt 2.3.10

Mutltipliziere $6$ mit $22$ .

$\frac{286 + 132 + (3^{2} - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Schritt 2.3.11

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{286 + 132 + (9 - 3) (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Schritt 2.3.12

Subtrahiere $3$ von $9$ .

$\frac{286 + 132 + 6 (4^{2} - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Schritt 2.3.13

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{286 + 132 + 6 (16 - 3)}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Schritt 2.3.14

Subtrahiere $3$ von $16$ .

$\frac{286 + 132 + 6 \cdot 13}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Schritt 2.3.15

Mutltipliziere $6$ mit $13$ .

$\frac{286 + 132 + 78}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Schritt 2.4

Addiere $286$ und $132$ .

$\frac{418 + 78}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Schritt 2.5

Addiere $418$ und $78$ .

$\frac{496}{(3^{2} - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.6.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{496}{(9 - 3) (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $3$ von $9$ .

$\frac{496}{6 (4^{2} - 3) (5^{2} - 3)}$

Schritt 2.6.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{496}{6 (16 - 3) (5^{2} - 3)}$

Schritt 2.6.4

Subtrahiere $3$ von $16$ .

$\frac{496}{6 \cdot 13 (5^{2} - 3)}$

Schritt 2.6.5

Mutltipliziere $6$ mit $13$ .

$\frac{496}{78 (5^{2} - 3)}$

Schritt 2.6.6

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{496}{78 (25 - 3)}$

Schritt 2.6.7

Subtrahiere $3$ von $25$ .

$\frac{496}{78 \cdot 22}$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $78$ mit $22$ .

$\frac{496}{1716}$

Schritt 2.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $496$ und $1716$ .

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Schritt 2.8.1

Faktorisiere $4$ aus $496$ heraus.

$\frac{4 (124)}{1716}$

Schritt 2.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.8.2.1

Faktorisiere $4$ aus $1716$ heraus.

$\frac{4 \cdot 124}{4 \cdot 429}$

Schritt 2.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 \cdot 124}{4 \cdot 429}$

Schritt 2.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{124}{429}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{124}{429}$

Dezimalform:

$0.\overline{289044}$