Analysis Beispiele

$\sum_{i = 1}^{4} {(\frac{1}{3})}^{i - 1}$

Schritt 1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $i$ .

${(\frac{1}{3})}^{1 - 1} + {(\frac{1}{3})}^{2 - 1} + {(\frac{1}{3})}^{3 - 1} + {(\frac{1}{3})}^{4 - 1}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

${(\frac{1}{3})}^{0} + {(\frac{1}{3})}^{2 - 1} + {(\frac{1}{3})}^{3 - 1} + {(\frac{1}{3})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$\frac{1^{0}}{3^{0}} + {(\frac{1}{3})}^{2 - 1} + {(\frac{1}{3})}^{3 - 1} + {(\frac{1}{3})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.3

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{3^{0}} + {(\frac{1}{3})}^{2 - 1} + {(\frac{1}{3})}^{3 - 1} + {(\frac{1}{3})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.4

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{1} + {(\frac{1}{3})}^{2 - 1} + {(\frac{1}{3})}^{3 - 1} + {(\frac{1}{3})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.5

Dividiere $1$ durch $1$ .

$1 + {(\frac{1}{3})}^{2 - 1} + {(\frac{1}{3})}^{3 - 1} + {(\frac{1}{3})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.6

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$1 + {(\frac{1}{3})}^{1} + {(\frac{1}{3})}^{3 - 1} + {(\frac{1}{3})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.7

Vereinfache.

$1 + \frac{1}{3} + {(\frac{1}{3})}^{3 - 1} + {(\frac{1}{3})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.8

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$1 + \frac{1}{3} + {(\frac{1}{3})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.9

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1^{2}}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.11

Potenziere $3$ mit $2$ .

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{4 - 1}$

Schritt 2.1.12

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + {(\frac{1}{3})}^{3}$

Schritt 2.1.13

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{3}$ an.

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1^{3}}{3^{3}}$

Schritt 2.1.14

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{3^{3}}$

Schritt 2.1.15

Potenziere $3$ mit $3$ .

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27}$

Schritt 2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{1}{1} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{27}{27}$ .

$\frac{1}{1} \cdot \frac{27}{27} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27}$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{27}{27}$ .

$\frac{27}{27} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27}$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{27}{27} + \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27}$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{27}{27} + \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27}$

Schritt 2.2.6

Mutltipliziere $\frac{1}{9}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{27}{27} + \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{27}$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $\frac{1}{9}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{27}{27} + \frac{9}{3 \cdot 9} + \frac{3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{27}$

Schritt 2.2.8

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$\frac{27}{27} + \frac{9}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} + \frac{1}{27}$

Schritt 2.2.9

Stelle die Faktoren von $9 \cdot 3$ um.

$\frac{27}{27} + \frac{9}{27} + \frac{3}{3 \cdot 9} + \frac{1}{27}$

Schritt 2.2.10

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$\frac{27}{27} + \frac{9}{27} + \frac{3}{27} + \frac{1}{27}$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{27 + 9 + 3 + 1}{27}$

Schritt 2.4

Addiere $27$ und $9$ .

$\frac{36 + 3 + 1}{27}$

Schritt 2.5

Addiere $36$ und $3$ .

$\frac{39 + 1}{27}$

Schritt 2.6

Addiere $39$ und $1$ .

$\frac{40}{27}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{40}{27}$

Dezimalform:

$1.\overline{481}$

Darstellung als gemischte Zahl:

$1 \frac{13}{27}$