Analysis Beispiele

$y = \sqrt{\sin (x) + y}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\sin (x) + y}$ als ${(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = \sin (x) + y$ .

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Schritt 4.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\sin (x) + y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Schritt 4.1.3

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x) + y$ .

$\frac{1}{2} {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Schritt 4.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Schritt 4.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(\sin (x) + y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Schritt 4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(\sin (x) + y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Schritt 4.5.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(\sin (x) + y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Schritt 4.6

Differenziere unter Anwendung der Summenregel.

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Schritt 4.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(\sin (x) + y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Schritt 4.6.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.6.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(\sin (x) + y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(\sin (x) + y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Schritt 4.6.2.2

Bringe ${(\sin (x) + y)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x) + y]$

Schritt 4.6.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (x) + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 4.7

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 4.8

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (\cos (x) + y')$

Schritt 4.9

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (\cos (x) + y')$ um.

$(\cos (x) + y') \frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = (\cos (x) + y') (\frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 6

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 6.1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.1

Vereinfache $(\cos (x) + y') \frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

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Schritt 6.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = \cos (x) \frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} + y' \frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.1.1.2

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$y' = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} + y' \frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.1.1.3

Kombiniere $y'$ und $\frac{1}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$y' = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y'}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.2

Subtrahiere $\frac{y'}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' - \frac{y'}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 6.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, 2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}, 2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.2

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 6.3.3

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 6.3.4

Da $2$ keine Teiler außer $1$ und $2$ hat.

$2$ ist eine Primzahl

Schritt 6.3.5

Das kgV von $1, 2, 2$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$2$

Schritt 6.3.6

Der Teiler von $\sin (x) + y$ ist $\sin (x) + y$ selbst.

$(\sin (x) + y) = \sin (x) + y$

$(\sin (x) + y)$ occurs $1$ time.

Schritt 6.3.7

Das kgV von ${(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}, {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

${(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.3.8

Das kleinste gemeinsame Vielfache $LCM$ einer Reihe von Zahlen ist die kleinste Zahl, von der die Zahlen Teiler sind.

$2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.4

Multipliziere jeden Term in $y' - \frac{y'}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 6.4.1

Multipliziere jeden Term in $y' - \frac{y'}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}) - \frac{y'}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - \frac{y'}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 6.4.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{y'}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}}$ in den Zähler.

$2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} + \frac{- y'}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.4.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 6.4.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - y' = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - y' = 2 \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - y' = 2 \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.4.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - y' = \frac{\cos (x)}{{(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 6.4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - y' = \frac{\cos (x)}{{(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}} {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 6.4.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - y' = \cos (x)$

Schritt 6.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 6.5.1

Faktorisiere $y'$ aus $2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - y'$ heraus.

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Schritt 6.5.1.1

Faktorisiere $y'$ aus $2 y' {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$y' (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}) - y' = \cos (x)$

Schritt 6.5.1.2

Faktorisiere $y'$ aus $- y'$ heraus.

$y' (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}) + y' \cdot - 1 = \cos (x)$

Schritt 6.5.1.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}}) + y' \cdot - 1$ heraus.

$y' (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1) = \cos (x)$

Schritt 6.5.2

Teile jeden Ausdruck in $y' (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1) = \cos (x)$ durch $2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1) = \cos (x)$ durch $2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1$ .

$\frac{y' (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1} = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1}$

Schritt 6.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1} = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1}$

Schritt 6.5.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1}$

Schritt 7

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x)}{2 {(\sin (x) + y)}^{\frac{1}{2}} - 1}$