Analysis Beispiele

$y = \frac{e^{3 x} + e^{- 3 x}}{x}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{e^{3 x} + e^{- 3 x}}{x})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{3 x} + e^{- 3 x}$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{3 x} + e^{- 3 x}] - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{3 x} + e^{- 3 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $3 x$ .

$\frac{x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 x$ .

$\frac{x (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.4

Differenziere.

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Schritt 3.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x (e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{x (e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.4.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{3 x}$ .

$\frac{x (3 \cdot e^{3 x} + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 3 x$ .

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Schritt 3.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $- 3 x$ .

$\frac{x (3 e^{3 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.5.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{x (3 e^{3 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $- 3 x$ .

$\frac{x (3 e^{3 x} + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.6

Differenziere.

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Schritt 3.6.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x (3 e^{3 x} + e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x])) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x (3 e^{3 x} + e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.6.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.3.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\frac{x (3 e^{3 x} + e^{- 3 x} \cdot - 3) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.6.3.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $e^{- 3 x}$ .

$\frac{x (3 e^{3 x} - 3 \cdot e^{- 3 x}) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.6.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x (3 e^{3 x} - 3 e^{- 3 x}) - (e^{3 x} + e^{- 3 x}) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 3.6.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x (3 e^{3 x} - 3 e^{- 3 x}) - (e^{3 x} + e^{- 3 x})}{x^{2}}$

Schritt 3.7

Vereinfache.

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Schritt 3.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (3 e^{3 x}) + x (- 3 e^{- 3 x}) - (e^{3 x} + e^{- 3 x})}{x^{2}}$

Schritt 3.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (3 e^{3 x}) + x (- 3 e^{- 3 x}) - e^{3 x} - e^{- 3 x}}{x^{2}}$

Schritt 3.7.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.7.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3 x e^{3 x} + x (- 3 e^{- 3 x}) - e^{3 x} - e^{- 3 x}}{x^{2}}$

Schritt 3.7.3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{3 x e^{3 x} - 3 x e^{- 3 x} - e^{3 x} - e^{- 3 x}}{x^{2}}$

Schritt 3.7.4

Stelle die Terme um.

$\frac{3 e^{3 x} x - 3 e^{- 3 x} x - e^{3 x} - e^{- 3 x}}{x^{2}}$

Schritt 3.7.5

Stelle die Faktoren in $\frac{3 e^{3 x} x - 3 e^{- 3 x} x - e^{3 x} - e^{- 3 x}}{x^{2}}$ um.

$\frac{3 x e^{3 x} - 3 x e^{- 3 x} - e^{3 x} - e^{- 3 x}}{x^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{3 x e^{3 x} - 3 x e^{- 3 x} - e^{3 x} - e^{- 3 x}}{x^{2}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x e^{3 x} - 3 x e^{- 3 x} - e^{3 x} - e^{- 3 x}}{x^{2}}$