Analysis Beispiele

$y = \frac{x}{x^{2} + 3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + 3})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x^{2} + 3$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 3) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $x^{2} + 3$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{x^{2} + 3 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 3 - x (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.6.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{x^{2} + 3 - x (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.7

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{- (x^{2}) + 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.8.2

Schreibe $3$ als $- 1 (- 3)$ um.

$\frac{- (x^{2}) - 1 (- 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.8.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x^{2}) - 1 (- 3)$ heraus.

$\frac{- (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.8.4

Schreibe $- (x^{2} - 3)$ als $- 1 (x^{2} - 3)$ um.

$\frac{- 1 (x^{2} - 3)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 3.8.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{2} - 3}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$