Analysis Beispiele

$y = \frac{x \sin (x)}{5 + \cos (x)}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x \sin (x)}{5 + \cos (x)})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x \sin (x)$ und $g (x) = 5 + \cos (x)$ .

$\frac{(5 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [x \sin (x)] - x \sin (x) \frac{d}{d x} [5 + \cos (x)]}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$\frac{(5 + \cos (x)) (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [5 + \cos (x)]}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{(5 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [5 + \cos (x)]}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.4

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(5 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [5 + \cos (x)]}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{(5 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [5 + \cos (x)]}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.4.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 + \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(5 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.4.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(5 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.4.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{(5 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.5

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\frac{(5 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) - x \sin (x) (- \sin (x))}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.6

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{(5 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + 1 x \sin (x) \sin (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{(5 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin (x) \sin (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.7

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{(5 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x (\sin^{1} (x) \sin (x))}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.8

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{(5 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{(5 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.10

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{(5 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.11

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.11.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.11.1.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.11.1.1.1

Multipliziere $(5 + \cos (x)) (x \cos (x) + \sin (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.11.1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 (x \cos (x) + \sin (x)) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.11.1.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 (x \cos (x)) + 5 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x) + \sin (x)) + x \sin^{2} (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.11.1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{5 (x \cos (x)) + 5 \sin (x) + \cos (x) (x \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.11.1.1.2

Multipliziere $\cos (x) (x \cos (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.11.1.1.2.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{5 x \cos (x) + 5 \sin (x) + x (\cos^{1} (x) \cos (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.11.1.1.2.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{5 x \cos (x) + 5 \sin (x) + x (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.11.1.1.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5 x \cos (x) + 5 \sin (x) + x {\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.11.1.1.2.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{5 x \cos (x) + 5 \sin (x) + x \cos^{2} (x) + \cos (x) \sin (x) + x \sin^{2} (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.11.1.2

Bewege $x \sin^{2} (x)$ .

$\frac{5 x \cos (x) + 5 \sin (x) + x \cos^{2} (x) + x \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.11.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cos^{2} (x)$ heraus.

$\frac{5 x \cos (x) + 5 \sin (x) + x (\cos^{2} (x)) + x \sin^{2} (x) + \cos (x) \sin (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.11.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \sin^{2} (x)$ heraus.

$\frac{5 x \cos (x) + 5 \sin (x) + x (\cos^{2} (x)) + x (\sin^{2} (x)) + \cos (x) \sin (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.11.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (\cos^{2} (x)) + x (\sin^{2} (x))$ heraus.

$\frac{5 x \cos (x) + 5 \sin (x) + x (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)) + \cos (x) \sin (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.11.1.6

Ordne Terme um.

$\frac{5 x \cos (x) + 5 \sin (x) + x (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + \cos (x) \sin (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.11.1.7

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{5 x \cos (x) + 5 \sin (x) + x \cdot 1 + \cos (x) \sin (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.11.1.8

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{5 x \cos (x) + 5 \sin (x) + x + \cos (x) \sin (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 3.11.2

Stelle die Terme um.

$\frac{5 x \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + x + 5 \sin (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{5 x \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + x + 5 \sin (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x \cos (x) + \cos (x) \sin (x) + x + 5 \sin (x)}{{(5 + \cos (x))}^{2}}$