Analysis Beispiele

$y = 6 x^{2} \sin (x) + 12 x \cos (x) - 12 \sin (x)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (6 x^{2} \sin (x) + 12 x \cos (x) - 12 \sin (x))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x^{2} \sin (x) + 12 x \cos (x) - 12 \sin (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [12 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [12 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x^{2} \sin (x)]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{2} \sin (x)$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [12 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$6 (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [12 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Schritt 3.2.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [12 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [12 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x \cos (x)]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x \cos (x)$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 12 \frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 12 (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Schritt 3.3.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 12 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Schritt 3.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 12 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 12 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$ .

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Schritt 3.4.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 \sin (x)$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 12 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 12 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 3.4.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$6 (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 12 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 12 \cos (x)$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 (x^{2} \cos (x)) + 6 (\sin (x) (2 x)) + 12 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 12 \cos (x)$

Schritt 3.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$6 (x^{2} \cos (x)) + 6 (\sin (x) (2 x)) + 12 (x (- \sin (x))) + 12 \cos (x) - 12 \cos (x)$

Schritt 3.5.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.5.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$6 x^{2} \cos (x) + 12 (\sin (x) (x)) + 12 (x (- \sin (x))) + 12 \cos (x) - 12 \cos (x)$

Schritt 3.5.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$6 x^{2} \cos (x) + 12 \sin (x) x - 12 (x (\sin (x))) + 12 \cos (x) - 12 \cos (x)$

Schritt 3.5.3.3

Subtrahiere $12 x \sin (x)$ von $12 \sin (x) x$ .

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Schritt 3.5.3.3.1

Bewege $\sin (x)$ .

$6 x^{2} \cos (x) + 12 x \sin (x) - 12 x \sin (x) + 12 \cos (x) - 12 \cos (x)$

Schritt 3.5.3.3.2

Subtrahiere $12 x \sin (x)$ von $12 x \sin (x)$ .

$6 x^{2} \cos (x) + 0 + 12 \cos (x) - 12 \cos (x)$

Schritt 3.5.3.4

Addiere $6 x^{2} \cos (x)$ und $0$ .

$6 x^{2} \cos (x) + 12 \cos (x) - 12 \cos (x)$

Schritt 3.5.3.5

Subtrahiere $12 \cos (x)$ von $12 \cos (x)$ .

$6 x^{2} \cos (x) + 0$

Schritt 3.5.3.6

Addiere $6 x^{2} \cos (x)$ und $0$ .

$6 x^{2} \cos (x)$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 6 x^{2} \cos (x)$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 6 x^{2} \cos (x)$