Analysis Beispiele

$y^{3} = e^{x} \ln (x^{2} - 1)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y^{3}) = \frac{d}{d x} (e^{x} \ln (x^{2} - 1))$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 y^{2} y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = \ln (x^{2} - 1)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} - 1)] + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 1$ .

$e^{x} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$e^{x} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 1$ .

$e^{x} (\frac{1}{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]) + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{2} - 1}$ und $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{e^{x}}{x^{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{e^{x}}{x^{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 3.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{e^{x}}{x^{2} - 1} (2 x + 0) + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 3.3.5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.3.5.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{e^{x}}{x^{2} - 1} (2 x) + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 3.3.5.2

Kombiniere $2$ und $\frac{e^{x}}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{2 e^{x}}{x^{2} - 1} x + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 3.3.5.3

Kombiniere $\frac{2 e^{x}}{x^{2} - 1}$ und $x$ .

$\frac{2 e^{x} x}{x^{2} - 1} + \ln (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{2 e^{x} x}{x^{2} - 1} + \ln (x^{2} - 1) e^{x}$

Schritt 3.5

Um $\ln (x^{2} - 1) e^{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 1}$ .

$\frac{2 e^{x} x}{x^{2} - 1} + \frac{\ln (x^{2} - 1) e^{x} (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 e^{x} x + \ln (x^{2} - 1) e^{x} (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.7

Vereinfache.

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Schritt 3.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.7.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.7.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 e^{x} x + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} + \ln (x^{2} - 1) e^{x} \cdot - 1}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.7.1.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\ln (x^{2} - 1) e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x} x + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} - 1 \cdot (\ln (x^{2} - 1) e^{x})}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.7.1.1.3

Schreibe $- 1 (\ln (x^{2} - 1) e^{x})$ als $- (\ln (x^{2} - 1) e^{x})$ um.

$\frac{2 e^{x} x + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} - \ln (x^{2} - 1) e^{x}}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.7.1.2

Stelle die Faktoren in $2 e^{x} x + \ln (x^{2} - 1) e^{x} x^{2} - \ln (x^{2} - 1) e^{x}$ um.

$\frac{2 x e^{x} + x^{2} e^{x} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$

Schritt 3.7.2

Stelle die Terme um.

$\frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 y^{2} y' = \frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $3 y^{2} y' = \frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$ durch $3 y^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y^{2} y' = \frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}$ durch $3 y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{\frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}}{3 y^{2}}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{\frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}}{3 y^{2}}$

Schritt 5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{\frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}}{3 y^{2}}$

Schritt 5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{\frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}}{3 y^{2}}$

Schritt 5.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{\frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1}}{3 y^{2}}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y' = \frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1} \cdot \frac{1}{3 y^{2}}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y' = \frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{x^{2} - 1^{2}} \cdot \frac{1}{3 y^{2}}$

Schritt 5.3.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$y' = \frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{(x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{3 y^{2}}$

Schritt 5.3.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$ mit $\frac{1}{3 y^{2}}$ .

$y' = \frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{(x + 1) (x - 1) (3 y^{2})}$

Schritt 5.3.3.2

Stelle um.

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Schritt 5.3.3.2.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $(x + 1) (x - 1)$ .

$y' = \frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{3 \cdot ((x + 1) (x - 1)) y^{2}}$

Schritt 5.3.3.2.2

Stelle die Faktoren in $\frac{2 e^{x} x + e^{x} x^{2} \ln (x^{2} - 1) - e^{x} \ln (x^{2} - 1)}{3 (x + 1) (x - 1) y^{2}}$ um.

$y' = \frac{2 x e^{x} + x^{2} \ln (x^{2} - 1) e^{x} - \ln (x^{2} - 1) e^{x}}{3 y^{2} (x + 1) (x - 1)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x e^{x} + x^{2} \ln (x^{2} - 1) e^{x} - \ln (x^{2} - 1) e^{x}}{3 y^{2} (x + 1) (x - 1)}$