Analysis Beispiele

$x = \frac{1}{3} y^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{3} y^{2})$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{3} y^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{3} (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$\frac{1}{3} (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.3.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} (y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $y$ und $\frac{2}{3}$ .

$\frac{y \cdot 2}{3} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{2 \cdot y}{3} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.4

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{2 y}{3} y'$

Schritt 3.5

Kombiniere $\frac{2 y}{3}$ und $y'$ .

$\frac{2 y y'}{3}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = \frac{2 y y'}{3}$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{2 y y'}{3} = 1$ um.

$\frac{2 y y'}{3} = 1$

Schritt 5.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y y'}{3} = \frac{3}{2} \cdot 1$

Schritt 5.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.1.1

Vereinfache $\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y y'}{3}$ .

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Schritt 5.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y y'}{3} = \frac{3}{2} \cdot 1$

Schritt 5.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (2 y y') = \frac{3}{2} \cdot 1$

Schritt 5.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y y'$ heraus.

$\frac{1}{2} (2 (y y')) = \frac{3}{2} \cdot 1$

Schritt 5.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (2 (y y')) = \frac{3}{2} \cdot 1$

Schritt 5.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y y' = \frac{3}{2} \cdot 1$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $1$ .

$y y' = \frac{3}{2}$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y y' = \frac{3}{2}$ durch $y$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y y' = \frac{3}{2}$ durch $y$ .

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{3}{2}}{y}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{3}{2}}{y}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{\frac{3}{2}}{y}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y' = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{y}$

Schritt 5.4.3.2

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{1}{y}$ .

$y' = \frac{3}{2 y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2 y}$