Analysis Beispiele

$y = \frac{- 6}{\sqrt[4]{x}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{x}$ als $x^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{- 6}{x^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{- 6}{x^{\frac{1}{4}}})$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d}{d x} [- \frac{6}{x^{\frac{1}{4}}}]$

Schritt 4.2

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{6}{x^{\frac{1}{4}}}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}]$

Schritt 4.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.3.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ als ${(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ um.

$- 6 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}]$

Schritt 4.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4} \cdot - 1}]$

Schritt 4.3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $- 1$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{4}}]$

Schritt 4.3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 6 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{4}}]$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{4}$ .

$- 6 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} - 1})$

Schritt 4.5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$- 6 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Schritt 4.6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$- 6 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Schritt 4.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 6 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Schritt 4.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 6 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 1 - 4}{4}})$

Schritt 4.8.2

Subtrahiere $4$ von $- 1$ .

$- 6 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 5}{4}})$

Schritt 4.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 6 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{5}{4}})$

Schritt 4.10

Kombiniere $x^{- \frac{5}{4}}$ und $\frac{1}{4}$ .

$- 6 (- \frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4})$

Schritt 4.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$6 \frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4}$

Schritt 4.12

Kombiniere $6$ und $\frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4}$ .

$\frac{6 x^{- \frac{5}{4}}}{4}$

Schritt 4.13

Bringe $x^{- \frac{5}{4}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

Schritt 4.14

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 (3)}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

Schritt 4.15

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.15.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{\frac{5}{4}}$ heraus.

$\frac{2 (3)}{2 (2 x^{\frac{5}{4}})}$

Schritt 4.15.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 3}{2 (2 x^{\frac{5}{4}})}$

Schritt 4.15.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{2 x^{\frac{5}{4}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{3}{2 x^{\frac{5}{4}}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2 x^{\frac{5}{4}}}$