Analysis Beispiele

$y = (4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 4 x^{2} - 8 x + 8$ und $g (x) = e^{x}$ .

$(4 x^{2} - 8 x + 8) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 8 x + 8]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 8 x + 8]$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} - 8 x + 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 3.3.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (8 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 3.3.5

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (8 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 3.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (8 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 3.3.7

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (8 x - 8 + \frac{d}{d x} [8])$

Schritt 3.3.8

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (8 x - 8 + 0)$

Schritt 3.3.9

Addiere $8 x - 8$ und $0$ .

$(4 x^{2} - 8 x + 8) e^{x} + e^{x} (8 x - 8)$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} e^{x} - 8 x e^{x} + 8 e^{x} + e^{x} (8 x - 8)$

Schritt 3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} e^{x} - 8 x e^{x} + 8 e^{x} + e^{x} (8 x) + e^{x} \cdot - 8$

Schritt 3.4.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.3.1

Bringe $- 8$ auf die linke Seite von $e^{x}$ .

$4 x^{2} e^{x} - 8 x e^{x} + 8 e^{x} + e^{x} (8 x) - 8 \cdot e^{x}$

Schritt 3.4.3.2

Addiere $- 8 x e^{x}$ und $e^{x} (8 x)$ .

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Schritt 3.4.3.2.1

Bewege $e^{x}$ .

$4 x^{2} e^{x} + 8 e^{x} - 8 x e^{x} + 8 x e^{x} - 8 e^{x}$

Schritt 3.4.3.2.2

Addiere $- 8 x e^{x}$ und $8 x e^{x}$ .

$4 x^{2} e^{x} + 8 e^{x} + 0 - 8 e^{x}$

Schritt 3.4.3.3

Addiere $4 x^{2} e^{x} + 8 e^{x}$ und $0$ .

$4 x^{2} e^{x} + 8 e^{x} - 8 e^{x}$

Schritt 3.4.3.4

Subtrahiere $8 e^{x}$ von $8 e^{x}$ .

$4 x^{2} e^{x} + 0$

Schritt 3.4.3.5

Addiere $4 x^{2} e^{x}$ und $0$ .

$4 x^{2} e^{x}$

Schritt 3.4.4

Stelle die Faktoren von $4 x^{2} e^{x}$ um.

$4 e^{x} x^{2}$

Schritt 3.4.5

Stelle die Faktoren in $4 e^{x} x^{2}$ um.

$4 x^{2} e^{x}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 4 x^{2} e^{x}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{2} e^{x}$