Analysis Beispiele

$y = \frac{3 x^{3} + 2 x^{2}}{\sqrt{x}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{3 x^{3} + 2 x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3 x^{3} + 2 x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{3} + 2 x^{2}$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $3 x^{3}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (3 x) + 2 x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot 2}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot 2$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} (3 x + 2)}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 4.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} (3 x + 2) x^{- \frac{1}{2}}]$

Schritt 4.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.1

Bewege $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} x^{2} (3 x + 2)]$

Schritt 4.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2} + 2} (3 x + 2)]$

Schritt 4.3.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} (3 x + 2)]$

Schritt 4.3.4

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} (3 x + 2)]$

Schritt 4.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}} (3 x + 2)]$

Schritt 4.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1 + 4}{2}} (3 x + 2)]$

Schritt 4.3.6.2

Addiere $- 1$ und $4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}} (3 x + 2)]$

Schritt 4.4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ und $g (x) = 3 x + 2$ .

$x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [3 x + 2] + (3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 4.5

Differenziere.

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Schritt 4.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$x^{\frac{3}{2}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 4.5.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{3}{2}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 4.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{\frac{3}{2}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 4.5.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} (3 + \frac{d}{d x} [2]) + (3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 4.5.5

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{\frac{3}{2}} (3 + 0) + (3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 4.5.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.5.6.1

Addiere $3$ und $0$ .

$x^{\frac{3}{2}} \cdot 3 + (3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 4.5.6.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 \cdot x^{\frac{3}{2}} + (3 x + 2) \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Schritt 4.5.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + (3 x + 2) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Schritt 4.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + (3 x + 2) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 4.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + (3 x + 2) (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 4.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 x^{\frac{3}{2}} + (3 x + 2) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 4.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + (3 x + 2) (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Schritt 4.9.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + (3 x + 2) (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Schritt 4.10

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + (3 x + 2) \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 4.11

Vereinfache.

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Schritt 4.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 x^{\frac{3}{2}} + 3 x \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 4.11.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.11.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + x \frac{3 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 4.11.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + x \frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 4.11.2.3

Kombiniere $x$ und $\frac{9 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x (9 x^{\frac{1}{2}})}{2} + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 4.11.2.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}{2} + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 4.11.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{1 + \frac{1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 4.11.2.6

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 4.11.2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{2 + 1}{2}}}{2} + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 4.11.2.8

Addiere $2$ und $1$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 2 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 4.11.2.9

Kombiniere $2$ und $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Schritt 4.11.2.10

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 4.11.2.11

Faktorisiere $2$ aus $6 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2}$

Schritt 4.11.2.12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.11.2.12.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

Schritt 4.11.2.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.11.2.12.3

Forme den Ausdruck um.

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{1}$

Schritt 4.11.2.12.4

Dividiere $3 x^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.11.2.13

Um $3 x^{\frac{3}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3 x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.11.2.14

Kombiniere $3 x^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.11.2.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2 + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.11.2.16

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6 x^{\frac{3}{2}} + 9 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.11.2.17

Addiere $6 x^{\frac{3}{2}}$ und $9 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.11.3

Stelle die Terme um.

$3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{\frac{1}{2}} + \frac{15 x^{\frac{3}{2}}}{2}$