Analysis Beispiele

$y = \frac{3}{x^{2}} - \frac{x^{3}}{3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3}{x^{2}} - \frac{x^{3}}{3})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{3}{x^{2}} - \frac{x^{3}}{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x^{2}}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}]$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$3 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}]$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}]$

Schritt 3.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}]$

Schritt 3.2.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$3 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}]$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}]$

Schritt 3.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}]$

Schritt 3.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$3 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}]$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}]$

Schritt 3.2.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}]$

Schritt 3.2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}]$

Schritt 3.2.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$3 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}]$

Schritt 3.2.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$- 6 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{3}}{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Da $- \frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x^{3}}{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 6 x^{- 3} - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 6 x^{- 3} - \frac{1}{3} (3 x^{2})$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 6 x^{- 3} - 3 (\frac{1}{3}) x^{2}$

Schritt 3.3.4

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{3}$ .

$- 6 x^{- 3} + \frac{- 3}{3} x^{2}$

Schritt 3.3.5

Kombiniere $\frac{- 3}{3}$ und $x^{2}$ .

$- 6 x^{- 3} + \frac{- 3 x^{2}}{3}$

Schritt 3.3.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.6.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$- 6 x^{- 3} + \frac{3 (- x^{2})}{3}$

Schritt 3.3.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- 6 x^{- 3} + \frac{3 (- x^{2})}{3 (1)}$

Schritt 3.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 6 x^{- 3} + \frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 1}$

Schritt 3.3.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 6 x^{- 3} + \frac{- x^{2}}{1}$

Schritt 3.3.6.2.4

Dividiere $- x^{2}$ durch $1$ .

$- 6 x^{- 3} - x^{2}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 \frac{1}{x^{3}} - x^{2}$

Schritt 3.4.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 6}{x^{3}} - x^{2}$

Schritt 3.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{6}{x^{3}} - x^{2}$

Schritt 3.4.3

Stelle die Terme um.

$- x^{2} - \frac{6}{x^{3}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - x^{2} - \frac{6}{x^{3}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - x^{2} - \frac{6}{x^{3}}$