Analysis Beispiele

$y = \frac{2}{3} \ln (1 + 3 \cos^{2} (x))$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{3} \cdot \ln (1 + 3 \cos^{2} (x)))$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{3} \cdot \ln (1 + 3 \cos^{2} (x))$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\ln (1 + 3 \cos^{2} (x))]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\ln (1 + 3 \cos^{2} (x))]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 1 + 3 \cos^{2} (x)$ .

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Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $1 + 3 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{2}{3} (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [1 + 3 \cos^{2} (x)])$

Schritt 3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [1 + 3 \cos^{2} (x)])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $1 + 3 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{2}{3} (\frac{1}{1 + 3 \cos^{2} (x)} \frac{d}{d x} [1 + 3 \cos^{2} (x)])$

Schritt 3.3

Differenziere.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + 3 \cos^{2} (x)}$ mit $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{(1 + 3 \cos^{2} (x)) \cdot 3} \frac{d}{d x} [1 + 3 \cos^{2} (x)]$

Schritt 3.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $1 + 3 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{2}{3 \cdot (1 + 3 \cos^{2} (x))} \frac{d}{d x} [1 + 3 \cos^{2} (x)]$

Schritt 3.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 3 \cos^{2} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)])$

Schritt 3.3.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} (0 + \frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)])$

Schritt 3.3.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} \frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)]$

Schritt 3.3.6

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 \cos^{2} (x)$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$\frac{2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} (3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])$

Schritt 3.3.7

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.3.7.1

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Schritt 3.3.7.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{6}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Schritt 3.3.7.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $3$ .

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Schritt 3.3.7.3.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Schritt 3.3.7.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.7.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1 + 3 \cos^{2} (x))} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Schritt 3.3.7.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{1 + 3 \cos^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\cos (x)$ .

$\frac{2}{1 + 3 \cos^{2} (x)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2}{1 + 3 \cos^{2} (x)} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\cos (x)$ .

$\frac{2}{1 + 3 \cos^{2} (x)} (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 3.5

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.5.1

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{1 + 3 \cos^{2} (x)}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{1 + 3 \cos^{2} (x)} (\cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4}{1 + 3 \cos^{2} (x)} (\cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 3.5.3

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{4}{1 + 3 \cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cdot 4}{1 + 3 \cos^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 3.5.4

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\cos (x)$ .

$\frac{4 \cdot \cos (x)}{1 + 3 \cos^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 3.6

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\frac{4 \cos (x)}{1 + 3 \cos^{2} (x)} (- \sin (x))$

Schritt 3.7

Kombiniere $\frac{4 \cos (x)}{1 + 3 \cos^{2} (x)}$ und $\sin (x)$ .

$- \frac{4 \cos (x) \sin (x)}{1 + 3 \cos^{2} (x)}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{4 \cos (x) \sin (x)}{1 + 3 \cos^{2} (x)}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 \cos (x) \sin (x)}{1 + 3 \cos^{2} (x)}$