Analysis Beispiele

$y = \frac{2 x^{2} - x}{x^{3} + 1}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x^{2} - x}{x^{3} + 1})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 2 x^{2} - x$ und $g (x) = x^{3} + 1$ .

$\frac{(x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - x] - (2 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (2 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (2 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]) - (2 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x + \frac{d}{d x} [- x]) - (2 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - \frac{d}{d x} [x]) - (2 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - 1 \cdot 1) - (2 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - 1) - (2 x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - 1) - (2 x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - 1) - (2 x^{2} - x) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.10

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - 1) - (2 x^{2} - x) (3 x^{2} + 0)}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.11.1

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - 1) - (2 x^{2} - x) (3 x^{2})}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.2.11.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - 1) - 3 (2 x^{2} - x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - 1) + (- 3 (2 x^{2}) - 3 (- x)) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x^{3} + 1) (4 x - 1) - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.1

Multipliziere $(x^{3} + 1) (4 x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.3.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{3} (4 x - 1) + 1 (4 x - 1) - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{3} (4 x) + x^{3} \cdot - 1 + 1 (4 x - 1) - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{3} (4 x) + x^{3} \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{4 x^{3} x + x^{3} \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3.1.2.2

Multipliziere $x^{3}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.3.1.2.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{4 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3.1.2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{3}$ .

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Schritt 3.3.3.1.2.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{4 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3.1.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3.1.2.2.3

Addiere $1$ und $3$ .

$\frac{4 x^{4} + x^{3} \cdot - 1 + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3.1.2.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{4} - 1 \cdot x^{3} + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3.1.2.4

Schreibe $- 1 x^{3}$ als $- x^{3}$ um.

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 1 (4 x) + 1 \cdot - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3.1.2.5

Mutltipliziere $4 x$ mit $1$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x + 1 \cdot - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3.1.2.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 3 (2 x^{2}) x^{2} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3.1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.3.1.3.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 3 (2 (x^{2} x^{2})) - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3.1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 3 (2 x^{2 + 2}) - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3.1.3.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 3 (2 x^{4}) - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 6 x^{4} - 3 (- x) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.3.1.5.1

Bewege $x^{2}$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 6 x^{4} - 3 (- (x^{2} x))}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3.1.5.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 3.3.3.1.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 6 x^{4} - 3 (- (x^{2} x^{1}))}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3.1.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 6 x^{4} - 3 (- x^{2 + 1})}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3.1.5.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 6 x^{4} - 3 (- x^{3})}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$\frac{4 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 - 6 x^{4} + 3 x^{3}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3.2

Subtrahiere $6 x^{4}$ von $4 x^{4}$ .

$\frac{- 2 x^{4} - x^{3} + 4 x - 1 + 3 x^{3}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.3.3

Addiere $- x^{3}$ und $3 x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{4} + 2 x^{3} + 4 x - 1}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.4.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{- 2 x^{4} + 2 x^{3} + 4 x - 1}{{(x^{3} + 1^{3})}^{2}}$

Schritt 3.3.4.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{- 2 x^{4} + 2 x^{3} + 4 x - 1}{{((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}))}^{2}}$

Schritt 3.3.4.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{- 2 x^{4} + 2 x^{3} + 4 x - 1}{{((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}))}^{2}}$

Schritt 3.3.4.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{- 2 x^{4} + 2 x^{3} + 4 x - 1}{{((x + 1) (x^{2} - x + 1))}^{2}}$

Schritt 3.3.4.4

Wende die Produktregel auf $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ an.

$\frac{- 2 x^{4} + 2 x^{3} + 4 x - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x^{4}$ heraus.

$\frac{- (2 x^{4}) + 2 x^{3} + 4 x - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$\frac{- (2 x^{4}) - (- 2 x^{3}) + 4 x - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{4}) - (- 2 x^{3})$ heraus.

$\frac{- (2 x^{4} - 2 x^{3}) + 4 x - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{- (2 x^{4} - 2 x^{3}) - (- 4 x) - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{4} - 2 x^{3}) - (- 4 x)$ heraus.

$\frac{- (2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x) - 1}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.10

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- (2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x) - 1 (1)}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x) - 1 (1)$ heraus.

$\frac{- (2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x + 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.12

Schreibe $- (2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x + 1)$ als $- 1 (2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x + 1)$ um.

$\frac{- 1 (2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x + 1)}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Schritt 3.3.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x + 1}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x + 1}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x^{4} - 2 x^{3} - 4 x + 1}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$