Analysis Beispiele

$y = \frac{\sin (x)}{9 x} + \frac{9 x}{\sin (x)}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\sin (x)}{9 x} + \frac{9 x}{\sin (x)})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{\sin (x)}{9 x} + \frac{9 x}{\sin (x)}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{9 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{\sin (x)}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{9 x}] + \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{\sin (x)}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{9 x}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $\frac{1}{9}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{\sin (x)}{9 x}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{x}]$ .

$\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{\sin (x)}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = x$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{\sin (x)}]$

Schritt 3.2.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{x \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{\sin (x)}]$

Schritt 3.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{x \cos (x) - \sin (x) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{\sin (x)}]$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{\sin (x)}]$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $\frac{1}{9}$ mit $\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{x^{2}}$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{\sin (x)}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{9 x}{\sin (x)}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{9 x}{\sin (x)}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\sin (x)}]$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} + 9 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\sin (x)}]$

Schritt 3.3.2

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} + 9 \frac{\sin (x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} + 9 \frac{\sin (x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.3.4

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} + 9 \frac{\sin (x) \cdot 1 - x \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} + 9 \frac{\sin (x) - x \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.3.6

Kombiniere $9$ und $\frac{\sin (x) - x \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} + \frac{9 (\sin (x) - x \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} + \frac{9 \sin (x) + 9 (- x \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} + \frac{9 \sin (x) - 9 (x \cos (x))}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.4.2.2

Um $\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{9 \sin (x) - 9 x \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Schritt 3.4.2.3

Um $\frac{9 \sin (x) - 9 x \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9 x^{2}}{9 x^{2}}$ .

$\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{9 \sin (x) - 9 x \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{9 x^{2}}{9 x^{2}}$

Schritt 3.4.2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $9 x^{2} \sin^{2} (x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.4.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{x \cos (x) - \sin (x)}{9 x^{2}}$ mit $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{(x \cos (x) - \sin (x)) \sin^{2} (x)}{9 x^{2} \sin^{2} (x)} + \frac{9 \sin (x) - 9 x \cos (x)}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{9 x^{2}}{9 x^{2}}$

Schritt 3.4.2.4.2

Mutltipliziere $\frac{9 \sin (x) - 9 x \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ mit $\frac{9 x^{2}}{9 x^{2}}$ .

$\frac{(x \cos (x) - \sin (x)) \sin^{2} (x)}{9 x^{2} \sin^{2} (x)} + \frac{(9 \sin (x) - 9 x \cos (x)) (9 x^{2})}{\sin^{2} (x) (9 x^{2})}$

Schritt 3.4.2.4.3

Stelle die Faktoren von $\sin^{2} (x) (9 x^{2})$ um.

$\frac{(x \cos (x) - \sin (x)) \sin^{2} (x)}{9 x^{2} \sin^{2} (x)} + \frac{(9 \sin (x) - 9 x \cos (x)) (9 x^{2})}{9 x^{2} \sin^{2} (x)}$

Schritt 3.4.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x \cos (x) - \sin (x)) \sin^{2} (x) + (9 \sin (x) - 9 x \cos (x)) (9 x^{2})}{9 x^{2} \sin^{2} (x)}$

Schritt 3.4.2.6

Bringe $9$ auf die linke Seite von $9 \sin (x) - 9 x \cos (x)$ .

$\frac{(x \cos (x) - \sin (x)) \sin^{2} (x) + 9 (9 \sin (x) - 9 x \cos (x)) x^{2}}{9 x^{2} \sin^{2} (x)}$

Schritt 3.4.3

Stelle die Terme um.

$\frac{\sin^{2} (x) (x \cos (x) - \sin (x)) + 9 x^{2} (9 \sin (x) - 9 x \cos (x))}{9 x^{2} \sin^{2} (x)}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{\sin^{2} (x) (x \cos (x) - \sin (x)) + 9 x^{2} (9 \sin (x) - 9 x \cos (x))}{9 x^{2} \sin^{2} (x)}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sin^{2} (x) (x \cos (x) - \sin (x)) + 9 x^{2} (9 \sin (x) - 9 x \cos (x))}{9 x^{2} \sin^{2} (x)}$