Analysis Beispiele

$y = \frac{\cos (x)}{x^{3}}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\cos (x)}{x^{3}})$

Schritt 2

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Schritt 3.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\frac{x^{3} (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{x^{3} (- \sin (x)) - \cos (x) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 3.4.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{x^{3} (- \sin (x)) - 3 \cos (x) x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 3.4.2.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3} (- \sin (x)) - 3 \cos (x) x^{2}$ heraus.

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Schritt 3.4.2.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3} (- \sin (x))$ heraus.

$\frac{x^{2} (x (- \sin (x))) - 3 \cos (x) x^{2}}{x^{6}}$

Schritt 3.4.2.2.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 3 \cos (x) x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} (x (- \sin (x))) + x^{2} (- 3 \cos (x))}{x^{6}}$

Schritt 3.4.2.2.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (x (- \sin (x))) + x^{2} (- 3 \cos (x))$ heraus.

$\frac{x^{2} (x (- \sin (x)) - 3 \cos (x))}{x^{6}}$

Schritt 3.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{6}$ heraus.

$\frac{x^{2} (x (- \sin (x)) - 3 \cos (x))}{x^{2} x^{4}}$

Schritt 3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} (x (- \sin (x)) - 3 \cos (x))}{x^{2} x^{4}}$

Schritt 3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x (- \sin (x)) - 3 \cos (x)}{x^{4}}$

Schritt 3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{- x \sin (x) - 3 \cos (x)}{x^{4}}$

Schritt 3.6.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x \sin (x)$ heraus.

$\frac{- (x \sin (x)) - 3 \cos (x)}{x^{4}}$

Schritt 3.6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 \cos (x)$ heraus.

$\frac{- (x \sin (x)) - (3 \cos (x))}{x^{4}}$

Schritt 3.6.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x \sin (x)) - (3 \cos (x))$ heraus.

$\frac{- (x \sin (x) + 3 \cos (x))}{x^{4}}$

Schritt 3.6.5

Schreibe $- (x \sin (x) + 3 \cos (x))$ als $- 1 (x \sin (x) + 3 \cos (x))$ um.

$\frac{- 1 (x \sin (x) + 3 \cos (x))}{x^{4}}$

Schritt 3.6.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x \sin (x) + 3 \cos (x)}{x^{4}}$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = - \frac{x \sin (x) + 3 \cos (x)}{x^{4}}$

Schritt 5

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x \sin (x) + 3 \cos (x)}{x^{4}}$