Analysis Beispiele

$e^{x} + e^{y} = 1$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (e^{x} + e^{y}) = \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} + e^{y}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{y}]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$e^{x} + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{x} + e^{u} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$e^{x} + e^{y} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$e^{x} + e^{y} y'$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$e^{y} y' + e^{x}$

Schritt 3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$e^{y} y' + e^{x} = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Stelle die Faktoren in $e^{y} y' + e^{x}$ um.

$y' e^{y} + e^{x} = 0$

Schritt 5.2

Subtrahiere $e^{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' e^{y} = - e^{x}$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' e^{y} = - e^{x}$ durch $e^{y}$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' e^{y} = - e^{x}$ durch $e^{y}$ .

$\frac{y' e^{y}}{e^{y}} = \frac{- e^{x}}{e^{y}}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{y}$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' e^{y}}{e^{y}} = \frac{- e^{x}}{e^{y}}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- e^{x}}{e^{y}}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{x}$ und $e^{y}$ .

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Schritt 5.3.3.1.1

Faktorisiere $e^{y}$ aus $- e^{x}$ heraus.

$y' = \frac{e^{y} (- e^{x - y})}{e^{y}}$

Schritt 5.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y' = \frac{e^{y} (- e^{x - y})}{e^{y} \cdot 1}$

Schritt 5.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{e^{y} (- e^{x - y})}{e^{y} \cdot 1}$

Schritt 5.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- e^{x - y}}{1}$

Schritt 5.3.3.1.2.4

Dividiere $- e^{x - y}$ durch $1$ .

$y' = - e^{x - y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - e^{x - y}$