Analysis Beispiele

$x \ln (y) + y \ln (x) = 2$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x \ln (y) + y \ln (x)) = \frac{d}{d x} (2)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x \ln (y) + y \ln (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x \ln (y)] + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (y)] + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [x \ln (y)]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (y)] + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Schritt 2.2.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$x (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Schritt 2.2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x (\frac{1}{y} y') + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Schritt 2.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (\frac{1}{y} y') + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Schritt 2.2.5

Kombiniere $\frac{1}{y}$ und $y'$ .

$x \frac{y'}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Schritt 2.2.6

Kombiniere $x$ und $\frac{y'}{y}$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $\ln (y)$ mit $1$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{d}{d x} [y \ln (x)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [y \ln (x)]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = y$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + y \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + y \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + y \frac{1}{x} + \ln (x) y'$

Schritt 2.3.4

Kombiniere $y$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{y}{x} + \ln (x) y'$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$\ln (x) y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{y}{x}$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$\ln (x) y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{y}{x} = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere jeden Term in $\ln (x) y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{y}{x} = 0$ mit $y x$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.1.1

Multipliziere jeden Term in $\ln (x) y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{y}{x} = 0$ mit $y x$ .

$\ln (x) y' (y x) + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

Schritt 5.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.1.2.1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $y x$ heraus.

$\ln (x) y' y x + \frac{x y'}{y} (y (x)) + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

Schritt 5.1.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (x) y' y x + \frac{x y'}{y} (y x) + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

Schritt 5.1.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (x) y' y x + x y' x + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

Schritt 5.1.2.1.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\ln (x) y' y x + y' (x^{1} x) + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

Schritt 5.1.2.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\ln (x) y' y x + y' (x^{1} x^{1}) + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

Schritt 5.1.2.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\ln (x) y' y x + y' x^{1 + 1} + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

Schritt 5.1.2.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) (y x) + \frac{y}{x} (y x) = 0 (y x)$

Schritt 5.1.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.1.2.1.6.1

Faktorisiere $x$ aus $y x$ heraus.

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + \frac{y}{x} (x y) = 0 (y x)$

Schritt 5.1.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + \frac{y}{x} (x y) = 0 (y x)$

Schritt 5.1.2.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + y \cdot y = 0 (y x)$

Schritt 5.1.2.1.7

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + y^{1} y = 0 (y x)$

Schritt 5.1.2.1.8

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + y^{1} y^{1} = 0 (y x)$

Schritt 5.1.2.1.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + y^{1 + 1} = 0 (y x)$

Schritt 5.1.2.1.10

Addiere $1$ und $1$ .

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + y^{2} = 0 (y x)$

Schritt 5.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.3.1

Multipliziere $0 (y x)$ .

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Schritt 5.1.3.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $0$ .

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + y^{2} = 0 x$

Schritt 5.1.3.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $x$ .

$\ln (x) y' y x + y' x^{2} + \ln (y) y x + y^{2} = 0$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (x) y' y x + \ln (y) y x = - y' x^{2} - y^{2} + 0$

Schritt 5.3

Stelle die Faktoren in $\ln (x) y' y x + \ln (y) y x$ um.

$y' y x \ln (x) + y x \ln (y) = - y' x^{2} - y^{2} + 0$

Schritt 5.4

Addiere $- y' x^{2} - y^{2}$ und $0$ .

$y' y x \ln (x) + y x \ln (y) = - y' x^{2} - y^{2}$

Schritt 5.5

Addiere $y' x^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y' y x \ln (x) + y x \ln (y) + y' x^{2} = - y^{2}$

Schritt 5.6

Subtrahiere $y x \ln (y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y' y x \ln (x) + y' x^{2} = - y^{2} - y x \ln (y)$

Schritt 5.7

Faktorisiere $y' x$ aus $y' y x \ln (x) + y' x^{2}$ heraus.

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Schritt 5.7.1

Faktorisiere $y' x$ aus $y' y x \ln (x)$ heraus.

$y' x (y \ln (x)) + y' x^{2} = - y^{2} - y x \ln (y)$

Schritt 5.7.2

Faktorisiere $y' x$ aus $y' x^{2}$ heraus.

$y' x (y \ln (x)) + y' x \cdot x = - y^{2} - y x \ln (y)$

Schritt 5.7.3

Faktorisiere $y' x$ aus $y' x (y \ln (x)) + y' x \cdot x$ heraus.

$y' x (y \ln (x) + x) = - y^{2} - y x \ln (y)$

Schritt 5.8

Teile jeden Ausdruck in $y' x (y \ln (x) + x) = - y^{2} - y x \ln (y)$ durch $x (y \ln (x) + x)$ und vereinfache.

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Schritt 5.8.1

Teile jeden Ausdruck in $y' x (y \ln (x) + x) = - y^{2} - y x \ln (y)$ durch $x (y \ln (x) + x)$ .

$\frac{y' x (y \ln (x) + x)}{x (y \ln (x) + x)} = \frac{- y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (y \ln (x) + x)}$

Schritt 5.8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' x (y \ln (x) + x)}{x (y \ln (x) + x)} = \frac{- y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (y \ln (x) + x)}$

Schritt 5.8.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (y \ln (x) + x)}{y \ln (x) + x} = \frac{- y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (y \ln (x) + x)}$

Schritt 5.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y \ln (x) + x$ .

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Schritt 5.8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (y \ln (x) + x)}{y \ln (x) + x} = \frac{- y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (y \ln (x) + x)}$

Schritt 5.8.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (y \ln (x) + x)}$

Schritt 5.8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.8.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (y \ln (x) + x)}$

Schritt 5.8.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.8.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y x \ln (y)}{x (y \ln (x) + x)}$

Schritt 5.8.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} + \frac{- y \ln (y)}{y \ln (x) + x}$

Schritt 5.8.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} - \frac{y \ln (y)}{y \ln (x) + x}$

Schritt 5.8.3.2

Um $- \frac{y \ln (y)}{y \ln (x) + x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} - \frac{y \ln (y)}{y \ln (x) + x} \cdot \frac{x}{x}$

Schritt 5.8.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x (y \ln (x) + x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.8.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{y \ln (y)}{y \ln (x) + x}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} - \frac{y \ln (y) x}{(y \ln (x) + x) x}$

Schritt 5.8.3.3.2

Stelle die Faktoren von $(y \ln (x) + x) x$ um.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (y \ln (x) + x)} - \frac{y \ln (y) x}{x (y \ln (x) + x)}$

Schritt 5.8.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- y^{2} - y \ln (y) x}{x (y \ln (x) + x)}$

Schritt 5.8.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.8.3.5.1

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2} - y \ln (y) x$ heraus.

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Schritt 5.8.3.5.1.1

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2}$ heraus.

$y' = \frac{y (- y) - y \ln (y) x}{x (y \ln (x) + x)}$

Schritt 5.8.3.5.1.2

Faktorisiere $y$ aus $- y \ln (y) x$ heraus.

$y' = \frac{y (- y) + y (- 1 \ln (y) x)}{x (y \ln (x) + x)}$

Schritt 5.8.3.5.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y (- y) + y (- 1 \ln (y) x)$ heraus.

$y' = \frac{y (- y - 1 \ln (y) x)}{x (y \ln (x) + x)}$

Schritt 5.8.3.5.2

Schreibe $- 1 \ln (y)$ als $- \ln (y)$ um.

$y' = \frac{y (- y - \ln (y) x)}{x (y \ln (x) + x)}$

Schritt 5.8.3.6

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 5.8.3.6.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$y' = \frac{y (- (y) - \ln (y) x)}{x (y \ln (x) + x)}$

Schritt 5.8.3.6.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (y) x$ heraus.

$y' = \frac{y (- (y) - (\ln (y) x))}{x (y \ln (x) + x)}$

Schritt 5.8.3.6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y) - (\ln (y) x)$ heraus.

$y' = \frac{y (- (y + \ln (y) x))}{x (y \ln (x) + x)}$

Schritt 5.8.3.6.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.8.3.6.4.1

Schreibe $- (y + \ln (y) x)$ als $- 1 (y + \ln (y) x)$ um.

$y' = \frac{y (- 1 (y + \ln (y) x))}{x (y \ln (x) + x)}$

Schritt 5.8.3.6.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{y (y + \ln (y) x)}{x (y \ln (x) + x)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y + \ln (y) x)}{x (y \ln (x) + x)}$