Analysis Beispiele

$x^{2} (x - y) = y^{2} (x + y)$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (x^{2} (x - y)) = \frac{d}{d x} (y^{2} (x + y))$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x - y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [x - y] + (x - y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]) + (x - y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- y]) + (x - y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$x^{2} (1 - \frac{d}{d x} [y]) + (x - y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x^{2} (1 - y') + (x - y) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} (1 - y') + (x - y) (2 x)$

Schritt 2.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x - y$ .

$x^{2} (1 - y') + 2 \cdot (x - y) x$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- y') + 2 (x - y) x$

Schritt 2.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- y') + (2 x + 2 (- y)) x$

Schritt 2.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \cdot 1 + x^{2} (- y') + 2 x \cdot x + 2 (- y) x$

Schritt 2.6.4

Vereine die Terme

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Schritt 2.6.4.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 x \cdot x + 2 (- y) x$

Schritt 2.6.4.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 (x^{1} x) + 2 (- y) x$

Schritt 2.6.4.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 (x^{1} x^{1}) + 2 (- y) x$

Schritt 2.6.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 x^{1 + 1} + 2 (- y) x$

Schritt 2.6.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 x^{2} + 2 (- y) x$

Schritt 2.6.4.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{2} + x^{2} (- y') + 2 x^{2} - 2 y x$

Schritt 2.6.4.7

Addiere $x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} + x^{2} (- y') - 2 y x$

Schritt 2.6.5

Stelle die Terme um.

$3 x^{2} - x^{2} y' - 2 x y$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = y^{2}$ und $g (x) = x + y$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [x + y] + (x + y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$y^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) + (x + y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y^{2} (1 + \frac{d}{d x} [y]) + (x + y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y^{2} (1 + y') + (x + y) \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$y^{2} (1 + y') + (x + y) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$y^{2} (1 + y') + (x + y) (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.4.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$y^{2} (1 + y') + (x + y) (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x + y$ .

$y^{2} (1 + y') + 2 \cdot (x + y) y \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 3.6

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y^{2} (1 + y') + 2 (x + y) y y'$

Schritt 3.7

Vereinfache.

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Schritt 3.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} y' + 2 (x + y) y y'$

Schritt 3.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} y' + (2 x + 2 y) y y'$

Schritt 3.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} y' + (2 x y + 2 y \cdot y) y'$

Schritt 3.7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} \cdot 1 + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 y \cdot y y'$

Schritt 3.7.5

Vereine die Terme

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Schritt 3.7.5.1

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$y^{2} + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 y \cdot y y'$

Schritt 3.7.5.2

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y^{2} + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 (y^{1} y) y'$

Schritt 3.7.5.3

Potenziere $y$ mit $1$ .

$y^{2} + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 (y^{1} y^{1}) y'$

Schritt 3.7.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y^{2} + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 y^{1 + 1} y'$

Schritt 3.7.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y^{2} + y^{2} y' + 2 x y y' + 2 y^{2} y'$

Schritt 3.7.5.6

Addiere $y^{2} y'$ und $2 y^{2} y'$ .

$y^{2} + 3 y^{2} y' + 2 x y y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$3 x^{2} - x^{2} y' - 2 x y = y^{2} + 3 y^{2} y' + 2 x y y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Da $y'$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$y^{2} + 3 y^{2} y' + 2 x y y' = 3 x^{2} - x^{2} y' - 2 x y$

Schritt 5.2

Addiere $x^{2} y'$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} + 3 y^{2} y' + 2 x y y' + x^{2} y' = 3 x^{2} - 2 x y$

Schritt 5.3

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y^{2} y' + 2 x y y' + x^{2} y' = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

Schritt 5.4

Faktorisiere $y'$ aus $3 y^{2} y' + 2 x y y' + x^{2} y'$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $y'$ aus $3 y^{2} y'$ heraus.

$y' (3 y^{2}) + 2 x y y' + x^{2} y' = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $y'$ aus $2 x y y'$ heraus.

$y' (3 y^{2}) + y' (2 x y) + x^{2} y' = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $y'$ aus $x^{2} y'$ heraus.

$y' (3 y^{2}) + y' (2 x y) + y' (x^{2}) = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

Schritt 5.4.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' (3 y^{2}) + y' (2 x y)$ heraus.

$y' (3 y^{2} + 2 x y) + y' (x^{2}) = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

Schritt 5.4.5

Faktorisiere $y'$ aus $y' (3 y^{2} + 2 x y) + y' (x^{2})$ heraus.

$y' (3 y^{2} + 2 x y + x^{2}) = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $y' (3 y^{2} + 2 x y + x^{2}) = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$ durch $3 y^{2} + 2 x y + x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (3 y^{2} + 2 x y + x^{2}) = 3 x^{2} - 2 x y - y^{2}$ durch $3 y^{2} + 2 x y + x^{2}$ .

$\frac{y' (3 y^{2} + 2 x y + x^{2})}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- 2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 y^{2} + 2 x y + x^{2}$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (3 y^{2} + 2 x y + x^{2})}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- 2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- 2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.5.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} - \frac{(2) x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} + \frac{- y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Schritt 5.5.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} - \frac{2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} - \frac{y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Schritt 5.5.3.2

Kombiniere zu einem Bruch.

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Schritt 5.5.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{3 x^{2} - 2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}} - \frac{y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Schritt 5.5.3.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Schritt 5.5.3.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.5.3.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ und deren Summe gleich $b = - 2$ ist.

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Schritt 5.5.3.3.1.1

Stelle die Terme um.

$y' = \frac{3 x^{2} - y^{2} - 2 x y}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Schritt 5.5.3.3.1.2

Stelle $- y^{2}$ und $- 2 x y$ um.

$y' = \frac{3 x^{2} - 2 x y - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Schritt 5.5.3.3.1.3

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x y$ heraus.

$y' = \frac{3 x^{2} - 2 (x y) - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Schritt 5.5.3.3.1.4

Schreibe $- 2$ um als $1$ plus $- 3$

$y' = \frac{3 x^{2} + (1 - 3) (x y) - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Schritt 5.5.3.3.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$y' = \frac{3 x^{2} + 1 (x y) - 3 (x y) - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Schritt 5.5.3.3.1.6

Mutltipliziere $x y$ mit $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2} + x y - 3 (x y) - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Schritt 5.5.3.3.1.7

Versetze die Klammern.

$y' = \frac{3 x^{2} + x y - 3 x y - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Schritt 5.5.3.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.5.3.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$y' = \frac{(3 x^{2} + x y) - 3 x y - y^{2}}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Schritt 5.5.3.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y' = \frac{x (3 x + y) - y (3 x + y)}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Schritt 5.5.3.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x + y$ .

$y' = \frac{(3 x + y) (x - y)}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(3 x + y) (x - y)}{3 y^{2} + 2 x y + x^{2}}$